Украина, Макеевка
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 20.05.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 12.12.2022 07:56
Дзюба Светлана Ивановна
Учитель математики
66 лет
1 644
36 872 
Местоположение
Специализация
Открытый урок 9кл " Метод интервалов"
Категория:
Алгебра
30.01.2022 16:40
Просмотр содержимого документа
«Открытый урок 9кл " Метод интервалов"»
Тема урока: «Решение неравенств методом интервалов»
Деятельностная цель: формирование умений применением метода интервалов при решении простейших неравенств с кратными корнями.
Содержательная цель: расширение знаний учащихся и рассмотреть применение метода интервалов для решения неравенств различных типов.
Задачи урока:
1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.
2. Формировать умения применять полученные знания на практике, в новых условиях;
3.Содействовать развитию познавательного интереса к предмету, внимания, памяти;
Тип урока: урок «открытия» нового знания
Форма занятия: урок – игра «Путешествие»
Оборудование и материалы: компьютер, проектор, экран, презентация
для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся.
Ход урока
I. Организационный момент
– Здравствуйте, ребята! Сегодня вы сделаете очередной шаг навстречу большой цели –Государственная аттестация. Я с радостью помогу вам сделать этот шаг. Однажды я прочла высказывание «Получать готовую информацию и запоминать ее может компьютер, а человек должен думать».
– Пусть эти слова будут эпитетом к нашему уроку. А урок у нас не совсем обычный. Каждый из нас согласно основному закону страны, «Конституции ДНР», имеет право на образование и право на свободное перемещение. Сегодня мы с вами отправимся в математическое путешествие.
- У себя на столах вы можете найти вспомогательные материалы для работы.
- Итак, начнем наше путешествие: вам необходимо пройти регистрацию и ознакомиться с проблемными вопросами, решением которых мы будем заниматься в ходе нашего путешествия
- Приготовьте свои посадочные карточки. Листы оценивания.
2. Устная работа
1 этап регистрация: «Тест контроль»
І вариант
1) Разложение на множители квадратного трехчлена х2 + 6х + 9 имеет вид:
а) (х + 2)(х – 3);
б) (х + 3)2;
в) (х – 3)2.
2) Корнями уравнения (х – 2)(х + 10) = 0, являются:
а) 2 и 10;
б) 2 и – 10;
в) – 2 и 10.
3) Изображение на координатной прямой корней уравнения (х + 2)(х – 7) = 0
ІІ вариант
1) Разложение на множители квадратного трехчлена х2 – 8х + 16 имеет вид:
а) (х + 2)(х – 8);
б) (х + 4)2;
в) (х – 4)2.
2) Конями уравнения (х + 2)(х – 5) = 0, являются:
а) 2 и 5; б) 2 и – 5; в) – 2 и 5.
3) Изображение на координатной прямой корней уравнения (х – 4)(х – 11) = 0:
а) -4; 11; б) -11; -4; в) 4; 11.
Ответы: І вариант все б); ІІ вариант все в).
(Ребята обмениваются регистрационными карточками, проверяют их, производят оценивание: за каждый правильный ответ на вопросы теста по 1 баллу (всего 3 балла)).
2 этап: Изучение нового материала.
Первая станция «Круг идей»
Фронтальная работа с классом.
Учитель: Перед нами стоит задача. Надо решить неравенство (х – 4) (х + 1)0.
Учитель: Когда произведение двух выражений положительно?
Уч-ся: Если оба сомножителя одновременно положительны или одновременно отрицательны. Значит, нужно решить две системы неравенств:
1)(х – 4) 0, 2) (х + 1)0.
Два ученика у доски, остальные самостоятельно.
- Решением первой системы будет промежуток (4; +∞), а решением второй – промежуток (-∞; -1). Таким образом, получаем, что решением исходного неравенства будет
объединение этих промежутков, то есть x∈(-∞; -1)∪ (4; +∞).
Учитель: Приемлем ли такой способ решения неравенств подобного вида?
Уч-ся: Да.
Учитель: А если нам потребуется решить неравенство (x + 5)(x + 4)(x – 5)
А для этого неравенства такой способ решения удобен?
Уч-ся: Не совсем.
Учитель: Итак, для решения второго неравенства необходимо искать другой способ.
Учитель: Назовите нули функции
Уч-ся: Нули функции: х1= -5, х2 = -4, х3= 5.
Учитель: Отметим их на координатном луче. - + - +
Что они сделали с областью определения
-5, -4, 5- х функции?
Уч-ся: Они разбили область определения на промежутки (-∞; -5); (-5;-4); (-4;5); (5; +∞).
Учитель: Выясним, каковы знаки функции в каждом из указанных промежутков. Для этого возьмем число из промежутка и подставим в неравенство.
Мы видим, что в каждом из промежутков (-∞; -5); (-5;-4); (-4;5); (5; +∞) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -5, -4, 5 её знак изменяется.
5. Выберем промежуток, соответствующий знаку неравенства ( «+» – знак , « – » – знак ∈(-2; -1)∪ (2; +∞).
Учитель: Итак, мы рассмотрели два метода решения неравенств. Какой метод более рациональный?
Уч-ся: Метод интервалов.
Сформулируйте тему нашего урока:
Метод интервалов при решении неравенств с кратными корнями
- Как вы думаете какие цели мы будем ставить в ходе нашего путешествия?
-Научиться решать неравенства новым методом; расширить математический кругозор; учиться работать самостоятельно и в группе; проконтролировать уровень усвоения темы.
- Итак, уважаемые пассажиры, вы прошли регистрацию и, считаю, готовы отправиться в путешествие.
Учитель: Давайте попытаемся обобщить последний метод решения неравенств с одной переменной.
Алгоритм решения неравенств методом интервалов
Пусть требуется решить неравенство
а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn) , где х1 2 3 n
1. Найти корни уравнения
а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn) = 0
2. Отметить на числовой прямой корни х1, х2, х3 ,… , xn
3. Определить знак выражения
а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn)
на каждом из получившихся промежутков.
4. Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаку неравенства знаком.
3 этап: Актуализация знаний
Повторяем алгоритм решения неравенств методом интервалов.
Решить неравенство (с проведением сравнительного анализа решения):
(x – 5)(x + 4)(x + 5)2 ≤ 0.
Вопросы: Как вы думаете будут сложности в решении данного неравенства? В чём они будут заключатся?
- Что вы заметили при решении данных неравенств? (не чередуются знаки на интервалах в неравенстве )
Эта ситуация осложняет решение неравенств? (да, теперь знаки функции необходимо проверять на каждом интервале!)
А может, есть способ, все- таки не менять привычный алгоритм решения? (возможно есть)
(x – 5)(x + 4)(x + 5)2 ≤ 0 (x - 5)(x+4) ≤ 0, x = - 5;
Ответ. х € { - 5} U [- 4; 5]
Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - корень многочлена кратности .
Значит, корень х = -5 кратности 2.
4 этап: Проблемное объяснение нового знания
Итак, причина затруднения применения метода интервалов: не чередуются знаки на интервалах, что приводит к необходимости проверки знаков функции на каждом интервале.
Решим неравенство: (x – 5)(x + 4)(x + 5)2 ≤ 0 другим способом:
(x – 5)(x + 4)(x + 5)(x + 5) ≤ 0
Введем функцию f(x) = (x – 5)(x + 4)(x + 5)2; Д(f)=R.
1. Найдем нули функции f(x) = (x – 5)(x + 4)(x + 5)2, решив уравнение (х-5)(х+4)(х+5)2 = 0. x = 5; x = - 4; x = - 5 и x = - 5.
- 5 – корень кратности 2 (две слившиеся точки), между ними интервал с началом и концом в точке -5. Давайте введем интервал с началом и концом в точке -5. (его длина равна 0) и на графике его изображают в виде лепестка. Количество лепестков равно k – 1 ( где к – это кратность корня).
2. Изобразим на координатной прямой нули функции не забывая про «лепестки».
Нули функции разбивают область определения на интервалы, в каждом из которых функция непрерывна и сохраняет свой знак.
Чередуя, расставим знаки в каждом интервале, учитывая «лепесток», т.е. интервал с началом и концом в точке-5, и по рисунку запишем решение исходного неравенства.
Ответ: {-5} U [-4; 5]
Надо менять алгоритм решения неравенств методом интервалов? Определять знаки функции на каждом интервале? Как поступать с кратными корнями?
5 этап: Первичное закрепление
Отправляемся на станцию: «Обучая – учусь»
Примеры:
№1. Решить неравенство: (x – 1)(3 – x)4 (x – 2) ＜ 0.
Введем функцию f(x) = (x - 1)(3 –x)4 (x – 2), Д (f) = R.
Нули функции: x =1; x =2; x =3 – корень кратности 4.
Сколько «лепестков» рисуем в точке х=3?
В точке х = 3 дорисуем 3 «лепестка».
Определим знак функции f(x) на любом промежутке, например (-∞; 1)
f(0) = (0 -1)(3 – 0) (0 -2) 0,
и, чередуя, проставим знаки.
Ответ: (1; 2) U{3}
№ 2. Решить неравенство № 134 (а,б) с.44
На доске два ученика решают неравенства. Остальные работают в тетрадях.
б) Работа в парах. Заполнить пропуски в карточке
При решении неравенств с кратными корнями необходимо:
1. Найти ______________ функции f(х) = (х – х1)(х – х2) … (х – хп)
2. Изобразить на ____________________________________ функции.
3. В точках, которые являются кратными корнями, дорисовать нулевые интервалы в виде ______________________.
4. Количество лепестков равно _____________.
5. Определить ____________ функции на одном из интервалов и _________________ знаки на остальных интервалах, включая ________________.
6. При этом знаки____________________ на всех интервалах.
7. Записать _________________, в соответствии с условием.
Заполнение проверить по слайду. Определить количество ошибок, расставляя знаки «+» или «- »
Каждый учащийся получает карточку с алгоритмом. Ее вклеить в тетрадь.
6 этап: Физкультминутка
Станция «Спортивная»
7 этап: Самостоятельна работа в группах.
Следующая станция « Тайный конверт»
Каждая пара получает закрытый конверт с заданием, аналогичным одному из рассмотренных примеров и решает поставленную задачу, затем в виде отчета эксперт записывает ответ на доске и объясняет его.
Задания:
А)
1) (х + 7)(х + 2)(4 – х)(2х – 10) ≥ 0. ( x Є [-7; -2] v [4; 5] )
2) (х2 + 4х – 5)(х+7)(х + 3) ≥ 0 (х Є (- ∞; -7]v [-5; -3] v [1; + ∞) )
3) (х + 4)(х + 1)(х – 1)(х – 8) ≥ 0 (х Є (- ∞; - 4] v [-1;1] )
Б) Самостоятельная работа (с взаимопроверкой в парах).
Запишите три любых числа a, b, с, причем a
(x – a)(x – b)2(x – c) ≥ 0.
7)Итоги самостоятельной работы
Алгоритм решения неравенств с кратными корнями
(х – х1)(х – х2)к … (х – хп)≥0
1. Найти нули функции f(х) = (х – х1)(х – х2)к … (х – хп)
2. Изобразить на координатной прямой нули функции.
3. В точках, которые являются кратными корнями, дорисовать нулевые интервалы в виде лепестков.
4. Количество лепестков равно k – 1 ( где к – это кратность корня).
5. Определить знаки функции на одном из интервалов и расставить знаки на остальных интервалах, включая «лепестки», чередуя знаки.
6. Записать ответ, в соответствии с условием.
8. Домашнее задание.
Наше путешествие подошло к концу. Мы прибыли на станцию «Домашнее задание»
Ваше домашнее задание нескольких уровне. Каждый выбирает уровень себе по силам.
Начальный уровень
І вариант
Решить неравенство методом интервалов
1) (х + 1)(х – 2) 0
2) х2 – 3х + 2 ≤ 0
3) (х – 4)/(х + 5)
Начальный уровень
ІІ вариант
Решить неравенство методом интервалов
1) (х + 2)(х – 3) 0
2) х2 – 3х – 4 ≤ 0
3) (х – 5)/(х +6)
Средний уровень
І вариант
Решить неравенство методом интервалов
1) х2 – 7х + 12 ≤ 0
2) (х + 10)(х – 4)
3) 2х (8 + х)(х – 12) 0
4) (х + 2)(7 – х)(х – 13)
5) (х + 5)/(х - 6) 0
Средний уровень
ІІ вариант
Решить неравенство методом интервалов
1) х2 – 6х + 5
2) (х + 9)(х – 2)
3) 4х (5 + х)(х – 8) 0
4) (х + 9)(6 – х)(х – 10) ≤ 0
5) (х – 4)/(х + 7) 0
Достаточный уровень
І вариант
Решить неравенство методом интервалов
1) (х – 2)(х +5)/(х + 2) ≥ 0
2) (х + 3)2(х + 1)(х – 2) ≤ 0
3) (16 – х2)(3х2 + 1) 0
4) (6 – 3х)/(х + 4) ≥ 0
Достаточный уровень
ІІ вариант
Решить неравенство методом интервалов
1) (х + 1)(х – 9)/(х - 1) ≤ 0
2) (х + 2)(х – 1)(х – 3)2 ≤ 0
3) (25 – х2)(5х2 + 2) ≤ 0
4) (х + 4)/(10 - 2х) ≤ 0
Высокий уровень
І вариант
Решить неравенство методом интервалов
1) (х4 – 16х2)( - х2 – 5) ≤ 0
2) (– х2 + 8х – 7)/(х2 + х – 2) 0
3) х3 – 5х2 + 6х ≥ 0
4) (х – 2)(х + 2)2(х + 3)/(х - 1) ≤ 0
Высокий уровень
ІІ вариант
Решить неравенство методом интервалов
1) (х4 – 25х2)( - х2 – 7) ≥ 0
2) (– х2 + 4х + 3)/( х2 – х – 2)
3) х3 – 6х2 + 5х ≤ 0
4) (х – 3)(х + 3)2(х + 4)/(х - 2) ≥ 0
9.Итог урока.
Станция «Рефлексия»
Учитель: И вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок сделать чудные открытия?
А какие открытия Вы для себя сделали?
А какие цели урока мы ставили перед собой?
Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?
Учитель: Ян Амос Коменский говорил: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию». Я надеюсь, что в сегодняшнем уроке вы найдете для себя хоть крупинку полезного.
Учитель: У каждого из вас на столе листочки. Уходя из класса, прикрепите на доску один из них.
Листок зелёного цвета обозначает: “Я удовлетворён уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке”.
Листок жёлтого цвета обозначает: “Урок был интересен, я принимал в нём активное участие, я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно”.
Листок синего цвета обозначает: “ Я получил пользу от урока, но мне не все удалось выполнить правильно”.
Как сказал великий математик Нивен «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед».
Решение дробно-квадратичного неравенства Вместо 
могут быть другие функции, например, дробно-линейные или дробно-квадратичные. Решение неравенств такого рода является нашей целью.
1. Решить неравенство 
Это же неравенство может быть представлено в виде 
тогда нужно вначале разложить на множители числитель и знаменатель дроби.
1. Рассмотрим функцию 
2. Область определения: 
3. Найдем нули функции 
4. Выделим интервалы знакопостоянства.
5. Находим знак функции на каждом интервале.
Можно проверить знаки по методу пробной точки. Например, на промежутке 
На остальных промежутках аналогично.(Рис.1)
Теперь возвращаемся к неравенству 
Ответ: 
Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи.
Найти наименьшее решение неравенства.
Ответ: 
-
Организационный момент
Здравствуйте, ребята! Я рада видеть вас на своем уроке. Улыбнитесь друг другу. Садитесь.
II. Актуализация знаний
Никогда не берись за последующее, не усвоив предыдущее, так говорил академик Павлов.
Поэтому прежде чем приступить к изучению нового материала, устно вспомним то, что мы изучали ранее.
Что за формула записана у меня на доске? (квадратичная функция)
Что мы знаем о квадратичной функции? (график парабола, свойства)
Какие свойства вы можете описать? (Монотонность, ограниченность, промежутки знакопостоянства и т.д.) И при изучении какой темы они нам необходимы? (решение неравенств второй степени)
Какой алгоритм мы с вами изучили для решения квадратных неравенств?
-
Постановка целей учебной деятельности
А что изображено у меня на слайде? (Фонтаны)
Как вы думаете, почему фонтаны изображены на слайде и причем здесь квадратные неравенства? (строительство фонтанов)
Вы умеете решать квадратные неравенства? Как? Графическим способом, а сегодня познакомимся еще с одним методом – методом интервалов.
Тема урока «Решение неравенств методом интервалов»
Какую цель мы поставим перед собой?
Чего хотим сегодня достичь на уроке?
-
Организация и самоорганизация учебной деятельности
Но для изучения нового материала, нам потребуется ранее изученный материал. Для начала мы разложим квадратный трехчлен на множители, что нам для этого потребуется? (Формула)
Один ученик работает у доски.
Проверка решения, выставление оценок.
Используя полученное разложение, составим неравенство.
Если мы введем функцию, что мы сможем определить? (Нули функции)
Нули функции разбили область определения на интервалы. Как определить знаки функции на каждом из интервалов?
Физ.минутка
I группа – находит дальнейшее решение с использованием ИКТ и учебника.
II группа – находит дальнейшее решение, анализируя готовое решение неравенства.
III группа – получает дальнейшее решение неравенства от учителя.
Каждая группа представляет свои предложения по решению неравенства методом интервала.
Что необходимо для решения неравенств методом интервалов? (алгоритм)
Ваша задача, работая в группе, составить алгоритм решения неравенств.
Готовый алгоритм дети вклеивают в тетрадь.
Используя алгоритм, решите неравенство. На карточках даны варианты ответов и соответствующие им числа. Если вы правильно решите неравенство, то сможете узнать о знаменательных декабрьских датах для россиян.
3 декабря – День неизвестного солдата
12 декабря – День конституции РФ
31 декабря – Новый год
Просмотр видеороликов
В Новом 2015 году нам предстоит с вами сдача ОГЭ, где одним из навыков, которым должен владеть выпускник – решение неравенств второй степени.
Где же мы можем найти задания по данной теме? (Сайт ФИПИ)
-
Подведение итогов. Рефлексия.
Ребята, давайте подведем итог нашего урока. Какие задачи мы с вами ставили перед собой в начале урока и как вы думаете, выполнили мы их?
Сегодня на уроке я повторил …
Сегодня на уроке я узнал …
Сегодня на уроке я научился …
-
Информация о домашнем задании
Ребята вам нужно на выбор решить 2 неравенства используя метод интервалов, кто выполнит все задания, получит оценку в журнал.
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
