Открытый урок "Методы решения тригонометрических уравнений" 10-й класс

Открытый урок по теме

"Методы решения тригонометрических уравнений"

10-й класс

Цели урока:

• Образовательные : повторить, обобщить, систематизировать и углубить знания о методах решения тригонометрических уравнений.

• Развивающие: развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически излагать мысли, делать выводы, расширять кругозор.

• Воспитательные: воспитание ответственности, активности, побуждению интереса к математике, самостоятельности, умение работать в коллективе.

Тип урока: урок повторения и обобщения.

1.Организационный момент (обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению)

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок-обобщение по теме  «Общие методы решения тригонометрических уравнений».

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения разными способами.

В начале урока мы вспомним основные формулы тригонометрии и их применение для упрощения выражений.

Далее работа будет чередоваться: вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений, и на их основе посмотрим как происходит выборка корней при решении заданий ЕГЭ в части С1. Вспомним виды тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения первого  и второго порядка, а также неоднородные  уравнения первого порядка. Проведём разноуровневую проверочную работу, задания которой вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания,  умения и навыки. Проверим решения, и вы выставите себе оценку.  

Затем  получите домашнее задание и подведем итоги урока. Итак, приступаем.

2. Актуализация опорных знаний

1. Устный опрос(фронтально):

а)Какие простейшие тригонометрические уравнения мы знаем?

sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a

б) Как решаем эти уравнения?

Повторение материала проводится по таблице (есть на интерактивной доске)

в) Повторяем определения:

Арксинусом числа а называется число b, b [– ; ], sin b = a

Арккосинусом числа а называется число b, b [0; ], cos b = a

arcsin(– a) = – arcsinа; arccos (–a) =  – arccosa

arctg(– a) = – arctga; arcctg(– a) =  – arcctga.

(Все ответы поясняются на интерактивном тригонометрическом круге, расположенном в файлах notebook интерактивной доски)

2.Решить уравнения: (задания записаны на интерактивной доске, ответы закрыты “шторкой”, в конце выполнения самопроверка, критерии оценивания с.р.: 0 – 3 задания – незачёт, 4– 5 заданий – зачёт )

Ответы:

3. Основная часть урока (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Творческая работа в группах.

Учитель: Назовите известные вам методы решения тригонометрических уравнений.

Класс разбит на 6 групп, каждая из которых решает своим методом:

1-я группа – «Методом универсальной подстановки»;

2-я группа – «Методом разложения на множители»;

3-я группа – «Методом введения вспомогательного угла»;

4-я группа – «Методом вспомогательных неизвестных»;

5-я группа - «Методом оценки обеих частей уравнения»;

6-я группа – «Графический способ». (решение на компьютерах в программе «Eхcel»

Решается одно уравнение, используя перечисленные методы:

Sin x + Cos x = 1.

Из каждой группы вызывается один ученик к доске для решения этого уравнения своим методом. Учитель сам оценивает работу в группах.

Ученикам раздаются карточки – подсказки:

Карточка№1.

С помощью универсальной подстановки tg =t

• 1) Вспомните Sin x =; Cos x = и сделайте подстановку.

• 2) Проверьте обязательно отдельно корень
  х = π + 2 πn, где nZ , чтобы не потерять корни исходного уравнения.

Карточка№2.

Способом разложения на множители.

• 1)Представьте данное уравнение в виде уравнения с половинным аргументом, используя формулы двойного угла.

• 2) разложите на множители.

Карточка№3.

Введение вспомогательного угла.

• Вспомните, что SinП/4 = CosП/4 , введите

вспомогательный угол П/4 .

• Используя формулу синус суммы представьте данное уравнение с одной функцией.
  
  

Карточка№4.

Метод вспомогательных неизвестных.

• 1) Пусть sin x=a,cos x=b. Помни! Две переменных, введенных в одно уравнение, связаны друг с другом системой уравнений.

Карточка№5.

Метод оценки обеих частей уравнения.

• Помни! Если в уравнении правая часть положительна, то и левая часть уравнения должна быть положительной.

• Возведи обе части уравнения в квадрат.

Карточка №6

Графический способ

• Разбейте данное уравнение, так, чтобы тригонометрические функции находились в разных частях уравнения.

• Постройте графики функций, записанные в левой и правой частях на одной координатной плоскости, учитывая период.

• Найдите точки пересечения двух графиков, учитывая период.

Учитель:  Ребята, а теперь вспомним основные методы решения тригонометрических уравнений.

*На экране проецируются основные виды тригонометрических уравнений, методы их решений 

Учитель:  Вспомнив теорию, давайте решим несколько  тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

*Задания можно выводить на экран, у меня они были подготовлены на листах формата А3 и крепились к доске на магнитах. Каждое задание выполняется по одному ученику на доске, с объяснением. Первым двоим, не рядом сидящим, при правильном решении и оформлении ставится оценка.

Задание №1.

Решить уравнение  sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение,  вводят замену

sin х = z, ,

решая квадратное уравнение

z² + 5 z - 6 = 0,

находят

z₁  = 1

z₂  = -6 (не удовлетворяет условию)

Решением уравнение

sin х = 1

 х =  π/2  +2 π k, k Z.

Ответ: π/2  +2 π k, k Z.

Учитель:  Продолжим решать тригонометрические уравнения, применяя нужный метод.

Задание №2

Решите уравнение  2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk,  k Z

х = - arctg 1,5 + πk,  k   Z

Ответ: - arctg 1,5 + πk,  k   Z.

Задание №3

Решите  уравнение 2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0

Учащиеся решают уравнение

2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0

2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0  | : cos²х ≠ 0

2 tg ²x - 3 tg x - 5 = 0

замена    tg x = t

2 t² – 3 t – 5 =0

t₁  = -1;  t₂  = 2,5

Выполняем обратную замену и решаем уравнения

1) tg х = -1

х = -π/2 + πk , k   Z.

2) tg х = 2,5

х = arctg 2,5+ πn,  n  Z.

Ответ: -π/2 + πk , arctg 2,5+ πn,  n, k   Z.

4. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой результатов работы

Учитель:  А теперь  выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

*Работа выполняется под копирку. Оригинальный вариант сдается учителю для проверки и выставления отметки, а второй - остается у учащихся для самопроверки.

Класс разбивается на две группы. Одна группа выполняет работу по вариантам,

другая по индивидуальным карточкам.

1-я группа

Самостоятельная работа ( по вариантам)

Решите уравнения.

1. 2 cosx - √2 = 0 (1б)

2. tg2x +1 = 0 (2б)

3. 2cos2x – 3cosx +1 = 0 (3б)

4. 3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0 (4б

2-я группа

Индивидуальные карточки

Карточка №1 Карточка №2

Решите уравнения: Решите уравнения:

1. (1балл) Cos 2x = 1 1. (1балл) Sin 3x = 1

2. (1 балл) tg3x = 0 2. (2балла) 2 Cos x/3 =

3. (4 балла) (1 - Cos 2x)(tgx - ) = 0 3. (3балла)(1- 2Sinx)(ctg x – 1)=0

1. Домашнее задание

Решите уравнения разными способами:

а)cos2x +3sinx=3;

б)2sin23x – 5sin3xcos3x + 3 cos23x=0;

в) sin3x+cos3x = 0.

6.Рефлексия

Что нового вы узнали на уроке?

Каким методом лучше решать тригонометрическое уравнение?

Какое у вас настроение после проведённого урока?

Что бы вы пожелали?

Понравился ли вам урок?