Открытый урок Тема:" Решение неравенств второй степени с одной переменной"

Перелистаем страницы учебника «Алгебра» 9 класса, остановимся на пункте 14

«Решение неравенств второй степени с одной переменной»

Тема урока

«Решение неравенств второй степени с одной переменной»

Цель; Сформировать у учащихся понятие неравенства второй степени с одной переменной, рассмотреть алгоритм решения неравенств, обобщить знания, умения, навыки учащихся по использованию свойств квадратичной функции( расположение ветвей параболы, нули функции, решение квадратного уравнения разными способами) при решении неравенств.

Развивать и воспитывать на уроке у учащихся: желание, потребность в получении знаний, стремление к самовоспитанию и самопознанию, усидчивость, любознательность, творчество, проявление своих индивидуальных качеств, трудолюбие, реальный взгляд на современное образование.

Ход урока

а) проверка качества выполнения домашнего задания (презентация)

б)тестирование учащихся по повторению материала необходимого для восприятия новой темы

в)презентация материала по новой теме

г) историческая справка

д) презентация решения квадратных неравенств (нестандартные методы решения квадратных уравнений без формул и теоремы Виета- приоткроем дверь в кабинет математики , где проходит занятие математического кружка).

е) решение неравенств по алгоритму (презентация с пояснением)

д) самостоятельная работа

ж)заключительное слово учителя. Подведение рейтинга работы учащихся на уроке, итог урока, домашнее задание.

Вступительное слово учителя и на экране в подтверждение слов учителя открывается слайд с темой урока, целями урока и ожидаемыми результатами.

Слушаем презентацию выполнения домашнего задания(№302, №301(а))

№301(а)

Сократите дробь

Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Для разложения квадратного трехчлена на линейные множители используем формулу : ax² +bx +c =a(x-x₁₎₍x-x_2), где x ₁ и x_2-корни уравнения.

Выпишем числитель и приравняем его к нулю для нахождения корней . Мы видим, что квадратный трехчлен написан не в стандартном виде, переставив слагаемые местами имеем:-2x²-5x+12=0..Для простоты решения умножим на( -1 ) обе части уравнения получим уравнение 2 x²+5x-12=0.Приведем уравнение к приведенному виду, когда a=1 , получим x²+2,5x-6=0. По теореме Виета найдем корни : x_{1 =}1,5 x_{2 =}-4 так как x_1× x_{2 =}1,5×(-4)=-6,а x₁₊ x_{2 =} 1,5+(-4)=-2,5, что противоположно b.Получив корни по формуле запишем разложение квадратного трехчлена на линейные множители: -2x²-5x+12=-2(x-1,5)(x+4).

Разложим на множители знаменатель: 15-10x=5(3-2x).

Окончательно получим: = = = = .

№302

Постройте график функции y=x²-3

График строим с помощью шаблона функции y=x² перемещением по оси ординат на 3 единицы вниз. По графику описываем свойства функции и находим промежутки знакопостоянства: y

y .

Учащимся интересно где знания этой темы применятся в жизни Так и у меня спросили

Арки мостов выполнены по законам параболы y-ax² +n.

Вы знаете что парабола имеет ось симметрии. Если вращать параболу вокруг оси то получается фигура которая называется параболоидой.

Свойство параболоиды с внутренней зеркальной поверхностью используется при изготовлении прожекторов и автомобильных фар. Ученые путем опытов доказали что поток лучей параллельных оси симметрии параболоиды собираясь в одну точку (она называется фокусом) способны повышать температуру до высоких значений.

Тестирование

Вспомним этапы построения параболы

1. Перед вами на экране график функции y=x² и 5 функций , построенные с помощью этой параболы . восстановите формулы этих функций. Укажите для каждой из парабол координаты вершины .Восстановите формулу каждой функции

2) Опишите в результате каких перемещений и из какой функции получены функции , заданные формулами:

а).у= (х +1)² ,б) у= х²+3 ,в) у= (х-2)²+1.

Постройте схематически графики функций , ответьте на вопросы

у= ( x+1)² у=-2(х-1)²-5

а) возрастание, убывание а)промежутки знакопостоянства

3.Укажите нули функции Укажите нули функции

-2х²+7х=0 3х²-2х=0

Переходим к изучению новой темы :

При описании свойств квадратичных функций мы указывали промежутки

знакопостоянства(y 0 ) По графикам определите y y )Подставив вместо y выражение получим неравенство.

Что такое неравенство?

Неравенство - это математическое предложение, записанное с помощью знаков

.Как еще называется знак -не больше или не превосходит, -не меньше.

ax²+bx+c 0 ax²+bx+c 0

Решение неравенства можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция y=ax²+bx+c принимает положительные значения, отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции y=ax²+bx+c в координатной плоскости, куда направлены ветви параболы(вверх, вниз), пересечение параболы с осью х и если она пересекает эту ось, то найти точки пересечения.

Каков багаж знаний нужно иметь учащимся:

А) по формуле функции находить a (первый коэффициент) .Знать, что если a -ветви направлены вверх, если a 0-вниз;

Б)уметь решать квадратное уравнение по формулам, по теореме Виета

В) изображать схематически график функции

Г) указывать промежутки знакопостоянства функции.

Приведем примеры решения квадратных неравенств

Решить неравенство 5x²+9x-2

Графиком функции y=5x²+9x-2. которая находится в левой стороне неравенства является парабола, ветви которой направлены вверх, так как a=5 .Выясним расположение параболы относительно оси x(найдем нули функции).Для этого решим уравнение

5x²+9x-2=0

При решении уравнений учащиеся часто ошибаются при подстановке в формулу коэффициентов a ,b ;c. Теорему Виета используют не все учащиеся ведь для работы с ней нужно квадратное уравнение привести к приведенному виду, когда a=1, появляются дроби, что затрудняет поиски корней .

На занятиях математического кружка мы рассмотрели нестандартный способ решения квадратного уравнения. Это способ не предполагает знания формул решения квадратного уравнения, теоремы Виета. Попыемся пояснить этот способ на решении квадратного уравнения 5x²+9x-2=0. Проверим на корень уравнения x=1. Подставим в уравнение вместо x=1, получим 5 1²+9 1-2=5+9-2≠0, а теперь x=-1. Подставим в уравнение получим 5 (-1)²+9× -2≠0. Теперь проверим на корни делители числа c=-2 ; +2.Получим:5×2²+9×2-2≠0 5×(-2)² +9× -2 =5×4+(-18)-2=0. x=-2-первый корень уравнения, чтобы найти второй корень вспомним теорему Виета X_{1 ×}X₂₌ откуда X₂= ÷ X_{1= .}.

X_{2= =} С помощью шаблона параболы( схематически) нарисует в координатной плоскости параболу и найдем промежутки , на которых график . X

На экране появляется слайд с алгоритмом решения неравенств второй степени с одной переменной.

Для решения неравенства :1) находим первый коэффициент квадратичной функции(a), который определяет расположение ветвей параболы;

2) решаем квадратное уравнение для нахождения расположения параболы относительно оси x.

3)строим схематически параболу и указываем промежутки знакопостоянства.

Мы рассмотрели примеры стандартных неравенств второй степени с одной переменной , обратили внимание на алгоритм(шаги) для решения, увидели непосредственно связь наших предыдущих знаний с материалом сегодняшнего урока( умения решать квадратное уравнение, находить нули функции, строить график квадратичной функции схематически или используя шаблон, отмечать точки в координатной плоскости, находить промежутки поведения графика функции.

Усложним нашу задачу и рассмотрим на примерах решение более сложных неравенст. Сложность будет заключаться лишь в наших умениях преобразовывать алгебраические выражения( уметь умножать многочлены, использовать формулы сокращенного умножения, раскрывать скобки, решать дробные неравенства и т.д.)

Решаем № 312(г)(решение проводиться у доски

(5x+1)(3x-1) (4x-1)(x+2)

Сведем данное неравенство к стандартному виду .Для этого раскроем скобки и воспользуемся всеми свойствами решения неравенств , приведение подобных слагаемых,_перенос слагаемых из одной части в другую, деление или умножения обеих частей.

15x²+3x-5x-1 4x²-x+8x-2

15x²-4x²-2x-7x-1+2

11x²-9x+1

Решим полученное квадратное уравнение11x²-9x+1=0

Первый коэффициент а=11 указывает на расположение ветвей параболы(вверх).

Решим квадратное уравнение по формуле, так как нахождение одного из корней не приводит к положительному результату( проверка на корень x=+1,x=-1)

D=b²-4ac D-(-9)²-4×11×1=81-44=37/

X₁₌ X₂₌

Чтобы оценить полученные корни вспомним нахождение приближенного значения корней .Подберем два соседних целых числа квадраты которых .Этими числами будут являться числа 6и7 , так как 6²=36, 7²=49.Тогда

X₁= = X_{2= =} Сравним дроби для схематического расположения их на координатной оси. Выполним все дальнейшие шаги по полученному алгоритму. Имеем график

, по которому и записываем ответ: x .

Решим неравенство 3x²-11x-4

График функции парабола. а=3-ветви направлены вверх. Найдем пересечение графика (расположение графика) по отношению к оси ox, решив уравнение

3x²-11x-4=0

Делителями свободного члена c= -4 являются числа +1,-1,+2;-2;+4;-4.Проверим на корень эти числа и получим, что ,если x=4 имеем 3×4²-11×4-4=3×16-44-4=48-44-4=0.Первый корень найден. X₂= =-

При построении параболы необходимо учитывать симметрию, а мы не находим координаты вершины параболы .Поэтому необходимо разделить расстояние между корнями напополам для эстетичности построения графика.

Закрепим полученную информацию , выполнив небольшую самостоятельную работу. Мы не забываем , что в этом учебном году нам предстоит сдавать ГИА по математике. Пересмотрев задания предыдущей аттестации за 2016-2017 учебный год я выделила два вида заданий: тестовая форма и открытая форма решения На самостоятельной работе вам будут предложены задания в этих двух формах.

На экране учащимся предлагается решить неравенства

В-1 В-2

На выполнение работы учащимся дается 7-10 минут Подведение итогов урока, обьявление оценок, домашнее задание.