Россия, п. Лесная Поляна
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 28.04.2026 18:28
Козанкова Галина Викторовна
Учитель математики
5 лет
300
142 148 
Местоположение
Специализация
Отношения в математике
Категория:
Математика
29.10.2025 20:54
Просмотр содержимого документа
«Отношения в математике»
РАЗРАБОТКА УРОКА МАТЕМАТИКИ ДЛЯ 6 КЛАССА НА ТЕМУ:
«ОТНОШЕНИЯ»
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Цель урока: Сформировать у учащихся понятие об отношении двух
чисел, научить находить отношение величин, выражать его в
различных формах и применять для решения практических задач.
Планируемые результаты:
• Личностные: Формирование коммуникативной компетентности в
общении и сотрудничестве со сверстниками, развитие
способности к эмоциональному восприятию математических
объектов.
• Метапредметные:
o Регулятивные: Умение самостоятельно ставить цели
учебной деятельности, планировать пути их достижения,
осуществлять контроль и коррекцию своих действий.
o Познавательные: Формирование умения строить
логическое рассуждение, включающее установление
причинно-следственных связей; развитие навыков анализа,
сравнения, обобщения.
o Коммуникативные: Умение точно и грамотно излагать
свои мысли при обсуждении хода и результатов
деятельности, аргументировано отстаивать свою точку
зрения.
• Предметные:
o Знать определение отношения двух чисел, понимать, что
показывает отношение.
o Уметь находить отношение двух чисел и величин,
выражать его в виде десятичной дроби, обыкновенной
дроби и в процентах.
o Уметь применять понятие отношения для решения
текстовых задач, в том числе задач на нахождение
отношения масс, длин, скоростей и других величин.
o Уметь читать и правильно интерпретировать найденное
отношение.
Оборудование: Учебник, мультимедийный проектор (или
интерактивная доска) для демонстрации примеров, раздаточный
материал с задачами.
Ход урока
I. Организационный момент (2 минуты)
Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, создание
рабочей атмосферы. Формулировка цели и задач урока для учащихся:
«Сегодня мы познакомимся с одним из фундаментальных понятий
математики – понятием отношения. Мы узнаем, как с помощью чисел
можно описать, во сколько раз одно число больше другого, какую
часть одно число составляет от другого, и как это применяется в
реальной жизни».
II. Актуализация опорных знаний (8 минут)
Для успешного усвоения новой темы необходимо активизировать
следующие знания и навыки:
1. Умение находить частное двух чисел.
2. Умение сокращать дроби.
3. Умение переводить обыкновенные дроби в десятичные и
проценты.
4. Знание единиц измерения величин (длины, массы, времени) и
умение переводить их.
Устная работа с классом:
• Найдите частное: 12 и 4; 15 и 5; 1 и 2; 3 и 4.
• Сократите дроби: 12/16, 25/100, 18/27.
• Выразите в процентах: 0,5; 0,25; 3/4; 1/5.
• Выразите в минутах: 2 часа; 1,5 часа.
• Выразите в сантиметрах: 0,8 м; 2 дм.
Цель этого этапа – подготовить мыслительный аппарат учащихся к
восприятию нового материала, который базируется на операциях
деления и преобразования дробей.
III. Изучение нового материала (20 минут)
1. Мотивация и введение понятия «отношение».
Учитель начинает с постановки проблемы: «Представьте, что у нас
есть два сада. В одном саду растёт 20 яблонь, а в другом – 5 яблонь.
Мы можем сравнить эти числа, найдя их разность: 20 – 5 = 15. Это
абсолютная разница. Но часто нам важно знать не на сколько, а во
сколько раз одно число больше или меньше другого. Как это узнать?»
Учащиеся, как правило, легко дают ответ: «Нужно разделить 20 на 5».
Учитель фиксирует это: «Верно, 20 : 5 = 4. Это означает, что яблонь в
первом саду в 4 раза больше, чем во втором. Результат деления двух
чисел в математике называется их ОТНОШЕНИЕМ».
Формулировка определения: Отношением двух чисел a и b
называется частное от деления числа a на число b. Отношение
читается как «a к b» и записывается как a : b или a / b.
Важно подчеркнуть, что запись a : b в данном контексте означает не
действие деления (как в случае 20:5=4), а именно результат этого
действия – число. Это число показывает, во сколько раз число a
больше числа b (если a b) или какую часть числа b составляет число
a (если a b).
2. Что показывает отношение? Аналитический разбор.
Учитель должен детально проанализировать, какую информацию мы
извлекаем из отношения, в зависимости от значений a и b.
• Случай 1: a b. Рассмотрим отношение 10 : 2 = 5. Это означает,
что 10 больше 2 в 5 раз. Или, иными словами, число 2
укладывается в числе 10 ровно 5 раз.
• Случай 2: a b. Рассмотрим отношение 3 : 12 = 0,25 или 1/4.
Это означает, что 3 составляет 0,25 (или одну четверть) от числа
12. Процентная интерпретация здесь особенно наглядна: 0,25 =
25%, следовательно, 3 составляет 25% от 12.
• Случай 3: a = b. Отношение 7 : 7 = 1. Это означает, что числа
равны.
Таким образом, отношение – это универсальный инструмент
сравнительного анализа, который переводит абсолютные значения в
относительные, что часто более информативно.
3. Отношение величин. Приведение к единой единице измерения.
Следующий важный шаг – переход от отношений чистых чисел к
отношениям величин. Учитель ставит новую проблему: «Найдём
отношение 1 метра к 20 сантиметрам. Можно ли просто записать 1 :
20?»
Пусть учащиеся придут к выводу, что сравнивать можно только
величины, выраженные в одинаковых единицах измерения.
Сравнивать метр с сантиметром – всё равно что сравнивать рубли с
копейками, не произведя обмен.
Алгоритм нахождения отношения величин:
1. Выразить обе величины в одинаковых единицах измерения.
2. Найти отношение полученных чисел.
Разберём пример: 1 м к 20 см.
1. Переводим метры в сантиметры: 1 м = 100 см.
2. Находим отношение: 100 см / 20 см = 5.
Ответ: 5. Это означает, что 1 метр больше 20 сантиметров в 5
раз.
Рассмотрим обратную задачу: 20 см к 1 м.
1. Аналогично, 20 см к 100 см.
2. Отношение: 20 см / 100 см = 0,2 или 1/5.
Ответ: 0,2. Это означает, что 20 сантиметров составляют одну
пятую часть от 1 метра.
Анализ этого примера подводит учащихся к важному
выводу: отношение a к b и отношение b к a – это взаимно
обратные числа. Если a : b = k, то b : a = 1/k. Этот факт имеет
большую практическую значимость.
4. Формы выражения отношения.
Учитель объясняет, что отношение, будучи числом, может быть
выражено в разных формах, и выбор формы зависит от контекста.
• Обыкновенная дробь: Наиболее естественная форма,
особенно когда отношение меньше единицы (например, 3/4). Её
преимущество – наглядность.
• Десятичная дробь: Удобна для вычислений и сравнений.
• Проценты: Наиболее употребимая форма в быту, экономике,
статистике. Проценты делают отношение интуитивно понятным.
Чтобы выразить отношение в процентах, нужно сначала
представить его в виде десятичной дроби, а затем умножить на
100%.
Пример: Отношение 12 к 16.
• Как обыкновенная дробь: 12/16 = 3/4 (после сокращения).
• Как десятичная дробь: 3 : 4 = 0,75.
• В процентах: 0,75 * 100% = 75%.
Каждая из этих форм сообщает одну и ту же информацию, но в
разном виде: «12 составляет три четверти от 16», «12 составляет 0,75
от 16», «12 составляет 75% от 16».
Первичное закрепление материала
На этом этапе учащиеся под руководством учителя решают задачи,
постепенно наращивая сложность.
Упражнение 1 (устно). Прочитайте отношения и объясните, что они
показывают:
а) 6 : 2 = 3 (Число 6 больше числа 2 в 3 раза).
б) 2 : 8 = 0,25 (Число 2 составляет четверть от числа 8).
в) 5 : 5 = 1 (Числа равны).
Упражнение 2. Найдите отношение чисел:
а) 18 к 3 (18/3=6)
б) 4 к 20 (4/20=0,2)
в) 1,5 к 0,5 (1,5/0,5=3). Здесь важно обратить внимание на то, что
отношение десятичных дробей находится так же легко, как и целых
чисел.
Упражнение 3. Найдите отношение величин, предварительно
переведя их к одной единице измерения:
а) 2 кг к 500 г. (2000 г / 500 г = 4).
б) 30 мин к 2 ч. (30 мин / 120 мин = 0,25).
в) 1 см к 1 м. (1 см / 100 см = 0,01).
Упражнение 4 (повышенной сложности, для работы у доски). В
классе 15 мальчиков и 10 девочек.
а) Найдите, какую часть всех учащихся класса составляют мальчики.
• Всего учащихся: 15 + 10 = 25.
• Отношение мальчиков ко всем учащимся: 15/25 = 3/5.
Ответ: Мальчики составляют 3/5 от всех учащихся.
б) Найдите, какую часть всех учащихся класса составляют
девочки.
• Отношение девочек ко всем учащимся: 10/25 = 2/5.
Ответ: Девочки составляют 2/5.
в) Найдите, во сколько раз мальчиков больше, чем девочек.
• Отношение мальчиков к девочкам: 15/10 = 1,5.
Ответ: Мальчиков в 1,5 раза больше.
г) Выразите отношения из пунктов а) и б) в процентах.
• 3/5 = 0,6 = 60%; 2/5 = 0,4 = 40%.
Эта задача имеет высокую практическую ценность, так как моделирует
типичную ситуацию из жизни (анализ состава группы). Она также
закрепляет понимание разницы между отношением «части к целому»
и отношением «части к части».
V. Физкультминутка (2 минуты)
Краткий перерыв для снятия напряжения с мышц спины, шеи и глаз.
Решение задач
Учащиеся работают самостоятельно или в парах с последующей
проверкой и обсуждением. Задачи направлены на отработку
алгоритма и демонстрацию практической применимости понятия
отношения.
Задача 1. Длина дороги 60 км. Отремонтировали 15 км дороги. Какую
часть дороги отремонтировали? Выразите эту часть в процентах.
• Решение: Отношение отремонтированной части ко всей длине:
15 км / 60 км = 1/4 = 0,25 = 25%.
• Ответ: Отремонтировали 25% дороги.
Задача 2. Скорость первого пешехода 5 км/ч, а скорость второго – 4
км/ч.
а) Во сколько раз скорость первого пешехода больше скорости
второго?
• Решение: 5 км/ч / 4 км/ч = 1,25.
• Ответ: В 1,25 раза.
б) Какую часть скорость второго пешехода составляет от
скорости первого?
• Решение: 4 км/ч / 5 км/ч = 0,8.
• Ответ: 0,8 или 4/5.
Задача 3. Рецепт салата требует 150 г огурцов и 50 г зелени. Найдите
отношение массы огурцов к массе зелени. Что показывает это
отношение?
• Решение: 150 г / 50 г = 3.
• Ответ: 3. Это показывает, что масса огурцов в 3 раза больше
массы зелени.
.
VII. Подведение итогов урока. Рефлексия (5 минут)
Учитель организует обобщение полученных на уроке знаний.
Возможные вопросы для беседы:
• Что нового вы узнали сегодня на уроке?
• Как найти отношение двух чисел?
• Что показывает отношение?
• Почему при нахождении отношения величин их нужно выражать
в одинаковых единицах измерения?
• В каких формах можно выразить отношение?
• Где в жизни мы можем встретиться с отношениями? (Учащиеся
приводят примеры: проценты по вкладу, скидки в магазине,
масштаб карты, рецепты, технические характеристики устройств
– например, отношение сигнал/шум).
Учитель резюмирует: «Таким образом, мы с вами научились
использовать простое арифметическое действие – деление – для
мощного сравнительного анализа. Отношения позволяют нам перейти
от абсолютных значений, которые не всегда информативны, к
относительным, которые дают гораздо более глубокое понимание
ситуации. Это ключевой инструмент не только в математике, но и в
физике, химии, экономике и многих других науках».
VIII. Домашнее задание (3 минуты)
Задание должно быть дифференцированным, чтобы охватить как
базовый уровень, так и уровень повышенной сложности.
1. Обязательная часть (для всех):
o Учебник: выучить определение отношения.
o № 1. Найти отношения: а) 24 к 8; б) 9 к 27; в) 0,5 к 2.
o № 2. Найти отношение величин: а) 40 мин к 2 ч; б) 300 г к 2
кг.
o № 3. В коробке 10 красных и 6 синих карандашей. Какую
часть всех карандашей составляют красные? Какую часть
синие? Во сколько раз красных карандашей больше, чем
синих?
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
