Оценка погрешности вычисления производных на основе варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации функции

Оценка погрешности вычисления производных на основе

варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации функции

, (1)

для определенности полагается . Пусть априори задана граница абсолютной погрешности аппроксимации данной функции. При каждом из (1) на -м подынтервале строится интерполяционный полином Ньютона с равноотстоящими узлами, где , – расстояние между узлами. Степень полинома выбирается одинаковой для всех подынтервалов и минимальной при условии:

. (2)

Интерполяционный полином Ньютона преобразуется к виду:

, , (3)

где .

Искомую оценку выполним в предположении, что определена, непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема на , на концах подразумеваются соответственные односторонние производные. В предположении разбиения (1) и аппроксимации (2) на для , в предположении , при произвольно фиксированном разложим разность по формуле Тейлора с двумя членами в окрестности радиуса произвольно выбранного узла интерполяции на :

.

Отсюда для выполнено:

, (4)

где .

В данных предположениях

.

Иными словами,

.

где .

Покажем, что

.

Имеем:

,

или,

Покажем вначале ограниченность слагаемого, содержащего . По лемме П1.1, представленной в [4], полиномограничен значением. По определению, , далее,

Отсюда

Аналогично,

где . Почленное вычитание обеих частей двух последних равенств влечет:

По формуле Лагранжа, применительно к приращениям производных с величиной приращения аргумента , получится:

где . Отсюда

где . Из последнего выражения для в [4] выводится неравенство:

.

С учетом суммы биномиальных коэффициентов оценка примет вид:

.

Аналогично предыдущему, по индукции можно показать ограниченность конечных разностей, а значит и ограниченность всех коэффициентов полинома, а соответственно и всех его производных.

Подстановка найденных оценок в выражение второй производной интерполяционного полинома влечет:

или

.

Отсюда

,

где – постоянная. Поэтому

.

Окончательно, с добавлением единичных слагаемых под знаком суммы,

.

Отсюда следует, что

.

Из данных оценок получается, что

где . Таким образом, имеет место неравенство:

. (5)

Первое слагаемое в правой части (5) можно оценить, используя формулу Тейлора для в -окрестности узла интерполяции:

По условиям интерполяции , поэтому

.

Отсюда

.

В результате последнее неравенство примет вид оценки:

. (6)

Подстановка (6) в выражение разности производных влечет:

. (7)

Таким образом, в предположении о двукратной дифференцируемости функции не удается доказать сходимость и оценить погрешность приближения производной на основе варьируемого кусочно-полино­миального метода.

Выход заключается в том, чтобы предположить более высокий порядок дифференцируемости аппроксимируемой функции. Если функция непрерывна и непрерывно дифференцируема раз на отрезке , то для нее сохраняются все проделанные рассуждения и оценки, но кроме того выполняются условия леммы 1.1 из [4]:

Лемма. Пусть для произвольного функция определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема раз на отрезке , на концах которого подразумеваются соответственные односторонние производные. Тогда, каково бы ни было , последовательность полиномов равномерно сходится к функции на данном отрезке при , где , – число подынтервалов из (1). Скорость сходимости оценивается из соотношения

, , ,

где , – шаг интерполирования полинома на при .

В силу леммы для рассматриваемой функции на рассматриваемом отрезке имеет место неравенство:

,, ,

где .

Отсюда

,

где . Следовательно,

,

где .

На основании изложенного приходим к неравенству:

,

– шаг интерполирования полинома на , или,

.

Таким образом, имеет место

Теорема . Пусть для произвольного функция определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема раз на отрезке , на концах которого подразумеваются соответственные односторонние производные. Тогда, каково бы ни было , последовательность полиномов равномерно сходится к производной функции на отрезке при , где , – число подынтервалов из (1). Скорость сходимости оценивается из соотношения

,

.

С учетом из теоремы вытекает

Следствие  В условиях теоремы выполняется неравенство

,

при этом не зависит от выбора степени полинома .

Таким образом, если с помощью варьируемого кусочно-полиномиального метода в условиях двукратной дифференцируемости приближается функция, то автоматически приближается производная, причем с равномерной сходимостью при дополнительном требовании -кратной дифференцируемости приближаемой функции. Скорость сходимости имеет порядок геометрической прогрессии по числу подынтервалов.

Литература

1. Ромм Я. Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки: автореф. дисс. … д-ра техн. наук. – Таганрог: ТРТУ. – 1998. – 42 с.

2. Ромм Я. Е. Минимизация временной сложности вычисления функций с приложением к цифровой обработке сигналов: учеб. пособие / Я. Е. Ромм, С. А. Фирсова. – Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2008. – 124 с.

3. Аксайская Л. Н. Разработка и исследование параллельных схем цифровой обработки сигналов на основе минимизации временной сложности вычисления функций: автореф. дисс. … канд. техн. наук. – Таганрог: ЮФУ, 2008, 18 с.

4. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Кусочно-полиномиальные приближения функций и решений дифференциальных уравнений в применении к моделям периодических реакций. – Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова», Таганрог, 2013. – 240 с.