Өзгөрмөлөрү бөлүштүрүлүүчү кадимки дифференциалдык теңдемелер

Өзгөрүлмөлөрү бөлуштүрүлүүчү кадимки дифференциалдык теңдемелер

(2) дифференциалдык теңдеме өзгөрмөлөрү бөлүштүрүлүүчү теңдеме деп аталат, эгерде аны

(4)

көрүнүшүндө жазууга мүмкүн болсо, б.а. теңдеменин оң жагы эки функциянын көбөйтүндүсү түрүндө көрсөтүлсө. жана функциялары интервалдарында үзгүлтүксүз жана болсун деп эсептейли.

(4) теңдеменин эки жагын dx ке көбөйтүп, ке бөлүп

деп алабыз.

Бул тендемеде сол жагы бир өзгөрмөдөн, оң жагы башка өзгөрмөдөн көз каранды болуп турат, б.а. өзгөрмөлөрү ажыратылып турат. Барабардыктын эки жагын тең интегралдап жиберип

(5) теңдеменин жалпы интегралын алабыз.

Биринчи тартиптеги дифференциалдык теңдемелерди

түрүндө да жазууга болот, мында , функциялары белгилүү функциялар. (6) теңдемеде x жана у өзгөрмөлөрү тең күчтүү, б.а. каалаган бирөөсүн экинчисинен функция деп караса болот.

Өзгөрмөлөрү ажыратылуучу дифференциалдык теңдемелерди кээде х жана у ке карата симметриялык формада жазышат:

мында, – функциялары интервалында үзгүлтүксүз.

Эгерде интервалында жана функциялары нөлдөн айырмалуу болсо, анда (7) теңдеменин бардык чечимдерин областында табуу үчүн көбөйтүндүсүнө бөлүп жиберип, андан кийин интегралдайбыз

(8) формула (7) теңдеменин жалпы интегралы болот.

Эскертүү. (7) теңдемени көбөйтүүчүсүнө бөлүп жатканда кээ бир чечимдер эске алынбай, жоголуп калышы мүмкүн, ошондуктан теңдемесин өзүнчө чечип өзгөчө чечимдерин табуу керек. Өзгөчө чечимдер жалпы чечимден келип чыкпайт.

Мисал. дифференциалдык теңдемесин чыгаргыла жана шартын канааттандырган жекече чечимин тапкыла.

Берилген дифференциалдык теңдемени төмөндөгүдөй көрүнүштө жазууга болот:

Өзгөрүлмөлөрдү бөлүштүрөбүз жана барабардыктын эки жагын тең интегралдайбыз

Берилген баштапкы шартты акыркы чечимдин ордуна коюп, С=2 ни алабыз. Анда жекече чечим