Параллельность прямой плоскости

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки.

В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая и плоскость

Имеют общие точки

Не имеют общих точек

(параллельны)

Имеют одну общую точку (пересекаются)

Имеют более одной общей точки (прямая лежит в плоскости)

Параллельности двух прямых

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна данной прямой.

Доказательство. Пусть плоскость α проходит через прямую a , параллельную плоскости β , и прямая b является линией пересечения этих плоскостей. Докажем, что прямые a и b параллельны.

В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой

Действительно, они лежат в одной плоскости α . Кроме этого, прямая b лежит в плоскости β , а прямая a не пересекается с этой плоскостью. Следовательно, прямая a и подавно не пересекается с прямой b . Таким образом, прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Значит, они параллельны.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Доказательство. Пусть прямая a не лежит в плоскости β и параллельна прямой b , лежащей в этой плоскости. Докажем, что прямая a параллельна плоскости β .

Предположим противное, т.е., что прямая a пересекает плоскость β в некоторой точке C .

В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой

Рассмотрим плоскость α , проходящую через прямые a и b ( a || b , по условию). Точка C принадлежит как плоскости β , так и плоскости α , т.е. принадлежит линии их пересечения - прямой b . Следовательно, прямые a и b пересекаются, что противоречит условию. Таким образом, a || β .

Упражнение 1

Верно ли утверждение о том, что две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 2

Верно ли утверждение: "Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости"?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 3

Одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 4

Даны две параллельные прямые. Через каждую из них проведена плоскость. Эти две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно данных прямых?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Параллельна.

Упражнение 5

Даны две пересекающиеся плоскости. Существует ли плоскость, пересекающая две данные плоскости по параллельным прямым?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Да.

Упражнение 6

Сторона AF правильного шестиугольника ABCDEF лежит в плоскости α, не совпадающей с плоскостью шестиугольника. Как расположены прямые, содержащие остальные стороны этого шестиугольника, относительно плоскости α?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: AB , BC , DE , EF пересекают плоскость; CD параллельна плоскости.

Упражнение 7

Даны две скрещивающиеся прямые a и b . Как через одну из них провести плоскость, параллельную другой прямой ?

Решение: Через точку прямой b проведем прямую a’ , параллельную прямой a . Затем через полученные пересекающиеся прямые провести плоскость. Она будет параллельна второй данной прямой.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

11

Упражнение 8

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм. Каково взаимное расположение прямой пересечения плоскостей граней SAB и SCD и плоскости основания ABCD ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Параллельны.

Упражнение 9

В кубе A … D 1 укажите плоскости, проходящие через вершины куба, параллельные прямой: а) AA 1 ; б) AB 1 ; в) AC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а ) BCC 1 , CDD 1 , BDD 1 ;

б ) CDD 1 , DA 1 C 1 , BDC 1 ;

в ) нет.

Упражнение 10

Докажите, что для куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямая AA 1 параллельна плоскости BCC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AA 1 параллельна прямой BB 1 , лежащей в плоскости BCC 1 . Следовательно, прямая AA 1 параллельна плоскости BCC 1 .

Упражнение 11

Докажите, что для куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямая AA 1 параллельна плоскости BDD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AA 1 параллельна прямой BB 1 , лежащей в плоскости BDD 1 . Следовательно, прямая AA 1 параллельна плоскости BDD 1 .

Упражнение 12

Докажите, что для куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямая AB 1 параллельна плоскости CDD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AB 1 параллельна прямой DC 1 , лежащей в плоскости CDD 1 . Следовательно, прямая AB 1 параллельна плоскости CDD 1 .

Упражнение 13

Докажите, что для куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямая AB 1 параллельна плоскости BDC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AB 1 параллельна прямой DC 1 , лежащей в плоскости BDC 1 . Следовательно, прямая AB 1 параллельна плоскости BDC 1 .

Упражнение 1 4

Сколько имеется пар параллельных прямых и плоскостей, содержащих ребра куба A…D 1 ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 24.

Упражнение 1 5

В правильной шестиугольной призме назовите плоскости, проходящие через ребра призмы и параллельные прямой: а) AB 1 ; б) AC 1 ; в) AD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) DEE 1 , CFF 1 ;

б) DFF 1 ;

в) BCC 1 , EFF 1 .

Упражнение 1 6

Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 прямая AA 1 параллельна плоскости BCC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AA 1 параллельна прямой BB 1 , лежащей в плоскости BCC 1 . Следовательно, прямая AA 1 параллельна плоскости BCC 1 .

Упражнение 1 7

Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 прямая AA 1 параллельна плоскости CEE 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AA 1 параллельна прямой CC 1 , лежащей в плоскости CEE 1 . Следовательно, прямая AA 1 параллельна плоскости CEE 1 .

Упражнение 1 8

Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 прямая AB 1 параллельна плоскости DEE 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AB 1 параллельна прямой ED 1 , лежащей в плоскости DEE 1 . Следовательно, прямая AB 1 параллельна плоскости DEE 1 .

Упражнение 1 9

Докажите, что для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 прямая AC 1 параллельна плоскости DFF 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AC 1 параллельна прямой FD 1 , лежащей в плоскости DFF 1 . Следовательно, прямая AC 1 параллельна плоскости DFF 1 .

Упражнение 20

Сколько плоскостей проходит через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельных прямой: а) AA 1 ; б) AB ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) 10;

б) 6.

Упражнение 21

Назовите прямые, содержащие многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. B 1 C 1 , A 1 D 1 , B 2 C 2 , A 2 D 2 , A 1 B 1 ; C 1 D 1 ; A 2 B 2 ; C 2 D 2 .

Упражнение 22

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что прямая AB параллельна плоскости A 1 B 1 C 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AB параллельна прямой A 1 B 1 , лежащей в плоскости A 1 B 1 C 1 . Следовательно, прямая A 1 B 1 параллельна плоскости A 1 B 1 C 1 .

Упражнение 23

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что прямая AB параллельна плоскости CDD 2 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AB параллельна прямой CD , лежащей в плоскости CDD 2 . Следовательно, прямая AB параллельна плоскости CDD 2 .

Упражнение 24

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что прямая AA 2 параллельна плоскости BCC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AA 2 параллельна прямой BB 1 , лежащей в плоскости BCC 1 . Следовательно, прямая AA 2 параллельна плоскости BCC 1 .

Упражнение 25

Назовите прямые, содержащие ребра многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные плоскости ADD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. BC , B 1 C 1 , B 2 C 2 , B 3 C 3 , A 3 D 3 , A 2 D 2 , C 3 D 3 ; BB 1 ; CC 1 ; B 2 B 3 ; C 2 C 3 ; A 2 A 3 ; D 2 D 3 .

Упражнение 26

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что прямая AB параллельна плоскости A 3 B 3 C 3 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AB параллельна прямой A 3 B 3 , лежащей в плоскости A 3 B 3 C 3 . Следовательно, прямая AB параллельна плоскости A 3 B 3 C 3 .

Упражнение 27

Для многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, докажите, что прямая AA 1 параллельна плоскости B 2 C 2 C 3 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямая AA 1 параллельна прямой B 2 B 3 , лежащей в плоскости B 2 C 2 C 3 . Следовательно, прямая AA 1 параллельна плоскости B 2 C 2 C 3 .

Упражнение 28 *

Сколько имеется пар параллельных прямых и плоскостей, содержащих ребра октаэдра?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У октаэдра 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 24.

Упражнение 29 *

Сколько имеется пар параллельных прямых и плоскостей, содержащих ребра икосаэдра .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У икосаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 60.

Упражнение 30 *

Сколько имеется пар параллельных прямых и плоскостей, содержащих ребра додекаэдра .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей параллельные. У додекаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых и плоскостей равно 60.