Параллельность прямых и плоскостей

l

n

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

p

l

m

n

p

l

II

n

m

a

b

a b

Планиметрия

Стереометрия

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

a IIb

a IIb

2

2

Определение

Две прямые в пространстве называются параллельными, если

1) они лежат в одной плоскости и

2) не пересекаются

b

a

2

Прямые а и с не параллельны

Прямые b и с не параллельны

с

b

a

a IIb

После демонстрации этого слайда покажите пространственную модель (плоскость – картон, прямые – спицы)

2

5

Две параллельные прямые определяют плоскость.

(определение параллельных прямых)

b

a

Показать (1)

5

n

Определение

m

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

FL II n

F

АВ II С D

А

В

b

С

D

a

L

Отрезок FL параллелен

прямой n

Отрезки АВ и С D параллельны

5

12 см

14 см

Точки М, N, P и Q – середины отрезков BD, CD, AB и АС.

Р MNQP - ?

D

M

N

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 17.

А

В

P

Q

С

7

7

Повторим. ПЛАНИМЕТРИЯ. Аксиома параллельности.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

b

А

а

Аксиома параллельности поможет доказать теорему о параллельных прямых

7

Теорема

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Прямая и не лежащая

на ней точка определяют плоскость

a

b

М

7

Повторим. Следствие из аксиомы параллельности.

b

c

а

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

a II b , c b c a

Это следствие из аксиомы параллельности поможет доказать лемму о параллельных прямых

7

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых

пересекает данную плоскость, то и другая

прямая пересекает данную плоскость.

a

b

М

?

11

Плоскости и имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой (А 3 )

a

b

Прямая р лежит в плоскости

и пересекает прямую а в т. М.

р

М

Поэтому она пересекает и

параллельную ей прямую b

в некоторой точке N .

N

Прямая р лежит также в плоскости , поэтому N – точка плоскости .

Значит, N – общая точка прямой b и плоскости .

12

Прямые, содержащие стороны АВ и ВС параллелограмма A ВС D пересекают плоскость . Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость .

D

С

А

В

N

О

Р

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 1 9 .

М

Каково взаимное расположение точек О, Р, М, N ?

13

13

Повторим. Следствие из аксиомы параллельности.

с

а

b

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

a II с , b II с a II b

Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

13

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема

a II с , b II с

Докажем, что a II b

с

Докажем, что а и b

• Лежат в одной плоскости
• не пересекаются

a

b

К

1) Точка К и прямая а определяют плоскость.

Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости.

Допустим, что прямая b пересекает плоскость . Тогда по лемме с также пересекает . По лемме и а также пересекает . Это невозможно, т.к. а лежит в плоскости

15

2) Используя метод от противного объясните почему прямые а и b не пересекаются.

16

Дано: АА 1 II СС 1 , АА 1 II ВВ 1 , ВВ 1 = СС 1

Доказать, что В 1 С 1 = ВС

В 1

А 1

С 1

В

А

«Дидактические материалы по геометрии для 10 класса». Зив Б.Г.

С

16

16

Дано: А 1 С 1 = АС, А 1 С 1 II АС, А 1 В 1 = АВ,

А 1 В 1 II АВ

Доказать, что C С 1 = В B 1

В 1

А 1

С 1

«Дидактические материалы по геометрии для 10 класса». Зив Б.Г.

В

А

С

Проверка

16

16

Треугольник АВС и квадрат А EFC не лежат в одной

плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что КМ II EF .

Найдите КМ, если АЕ=8см.

В

M

K

С

«Математика. Самостоятельные м контрольные работы по геометрии для 11 класса». Ершова А.П., Голобородько В.В.

А

F

8см

Е

16

16

Квадрат АВС D и трапеция KMNL не лежат в одной

плоскости. Точки A и D – середины отрезков KM и NL соответственно. Докажите, что К L II BC .

Найдите BC , если KL = 10 см , MN = 6 см.

N

6 см

M

D

А

С

С

В

L

«Математика. Самостоятельные м контрольные работы по геометрии для 11 класса». Ершова А.П., Голобородько В.В.

10 см

K

16

16

Отрезок АВ не пересекается с плоскостью . Через концы отрезка АВ и его середину (точку М) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А 1 , В 1 и М 1 . а) Докажите, что точки А 1 , В 1 и М 1 лежат на одной прямой. б) Найдите АА 1 , если ВВ 1 = 12см, ММ 1 =8см.

В

М

А

«Математика. Самостоятельные м контрольные работы по геометрии для 11 класса». Ершова А.П., Голобородько В.В.

А 1

M 1

В 1

16

21