Параллельность прямых и плоскостей

Учитель математики: Белкина Е.Н

1.Параллельные прямые в пространстве

2.Параллельность трех прямых

3.Параллельность прямой и плоскости

Определение

Две прямые в пространстве называются параллельными ,если они лежат в одной плоскости и не пересекаются

d

a

а

c

b

Э

• Через любую точку пространства , не лежащую на данной прямой , проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна

b

М

а

M

a

b II a и М

b (b- единственная )

L

ДАНО:

• Прямые а и b , т. М не лежащая на прямой а и плоскость а

b

a

M

a

• Рассмотрим прямую а и точку М, не лежащую на этой прямой(рис.1).Через прямую а и т.М проходит плоскость, и притом только одна . Прямая ,проходящая через т.М параллельно прямой а, должна лежать в плоскости а . Через т. М проходит прямая, параллельная прямой а и притом только одна. На рис.1 эта прямая b b – единственная прямая, проходящая через т.М параллельно прямой а. Что и требовалось доказать

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Э

Э

a

ДАНО

b

М

a II b

а

а, в т.М

a

Рис.1 (а)

Рис. 1 (б)

• Пусть a || b и a α = A (рис.2). Параллельные прямые a и b определяют некоторую плоскость β. Плоскости α и β имеют общую точку A , а , следовательно, имеют и общую прямую c , проходящую через точку A по аксиоме 1.2. Через точку A можно провести только одну прямую a , параллельную b . Следовательно, c не параллельна b . Прямые b и c не параллельны и лежат в одной плоскости β, следовательно, пересекаются в некоторой точке B . Прямая b имеет с плоскостью α общую точку B и не лежит в плоскости α (иначе по теореме 2.2 a и b были бы скрещивающимися). Следовательно, прямая b пересекает плоскость α. Лемма доказана.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано:

a II b, b II c

Доказать :

a II b

с

а

b

K

а

Пусть есть параллельные прямые a и b, которые пересекаются секущей прямой с. Прямая с пересекает прямую а в точке A и прямую b в точке B. Проведем чрез точку A прямую a1 так, что бы прямые a1 и b с секущей с образовали равные внутренние накрест лежащие углы. По признаку параллельности прямых прямые a1 и b параллельны. А так как через точку A можно провести только одну прямую параллельную b, то a и a1 совпадают.

Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные прямой a и b, равны. Теорема доказана.

• Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
• 1)прямая лежит в плоскости (рис.2.а)
• 2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е пересекаются (рис.2.б)
• 3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки (рис.2.в)

• Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

а

b

• Если прямая не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
• Дано:
• a II b , b лежит в плоскости а, а прямая а не лежит
• Доказать , что a II a

a

b

а

• Прямая а пересекает плоскость а ,а значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает плоскость а. Но это не возможно ,т.к прямая b лежит в плоскости а .Итак , прямая а не пересекает плоскость а, поэтому она параллельна этой плоскости .Теорема доказана.

• 1)Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости , и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскости параллельна данной прямой
• 2) Если одна из двух параллельных прямых параллельна другой плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости