Параллельность прямых в пространстве

Параллельность прямых

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Для отношения параллельности прямых в пространстве имеет место следующее свойство транзитивности:

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

В режиме слайдов формулировка появляется после кликанья мышкой

Упражнение 1

Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве параллельны?

Ответ: Нет.

Упражнение 2

Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Одну.

Упражнение 3

Известно, что в плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую. Будет ли это утверждение верно для пространства?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 4

Найдите геометрическое место (ГМ) прямых, пересекающих две данные параллельные прямые.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Плоскость.

Упражнение 5

Назовите прямые, проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и параллельные прямой AB .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: A 1 B 1 ; CD ; C 1 D 1 .

Упражнение 6

Докажите, что прямые AB и C 1 D 1 , проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB и C 1 D 1 параллельны прямой CD , так как грани ABCD и CDD 1 C 1 – квадраты. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 D 1 параллельны.

Упражнение 7

Докажите, что прямые AD 1 и BC 1 , проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: П рямые AB и C 1 D 1 параллельны (упражнение 6) . Следовательно, четырехугольник ABC 1 D 1 – параллелограмм (противоположные стороны AB и C 1 D 1 равны и параллельны). Значит, прямые AD 1 и BC 1 параллельны.

Упражнение 8

Являются ли параллельными прямые AB и CC 1 , проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 9

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Каждое ребро участвует в трех парах параллельных прямых. У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно

10

Упражнение 10

Являются ли параллельными прямые AB и CD , проходящие через вершины тетраэдра ABCD ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 11

Назовите прямые, проходящие через вершины треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллельные прямой A 1 B 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: BB 1 , CC 1 .

Упражнение 12

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Каждое ребро оснований участвует в одной паре параллельных прямых. Каждое боковое ребро участвует в двух парах параллельных прямых. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно

Ответ:

13

Упражнение 13

Назовите прямые, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельные прямой AA 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: BB 1 ; CC 1 ; DD 1 ; EE 1 ; FF 1 .

Упражнение 14

Докажите, что прямые AA 1 и CC 1 , проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AA 1 и CC 1 параллельны прямой BB 1 , так как грани ABB 1 A 1 и BCC 1 B 1 – прямоугольники . Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые A A 1 и CC 1 параллельны.

Упражнение 15

Докажите, что прямые AA 1 и DD 1 , проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AA 1 и CC 1 параллельны ( задача 1 4 ). П рям ые CC 1 и DD 1 параллельны , так как гран ь С DD 1 C 1 – прямоугольник . Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые A A 1 и DD 1 параллельны.

Упражнение 16

Назовите прямые, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельные прямой AB .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: A 1 B 1 ; DE ; D 1 E 1 ; CF ; C 1 F 1 .

Упражнение 17

Докажите, что прямые AB и D 1 E 1 , проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB и DE параллельны , так как грань ABCDEF – правильный шестиугольник. Прямые D 1 E 1 и DE параллельны, так как гран ь DEE 1 D 1 – прямоугольник . Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и D 1 E 1 параллельны.

Упражнение 18

Докажите, что прямые AB и C 1 F 1 , проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB и A 1 B 1 параллельны, так как гран ь ABB 1 A 1 – прямоугольник . Прямые C 1 F 1 и A 1 B 1 параллельны , так как грань A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 – правильный шестиугольник. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 F 1 параллельны.

Упражнение 1 9

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра правильной шестиугольной призмы .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Каждое ребро оснований участвует в трех парах параллельных прямых. Каждое боковое ребро участвует в пяти парах параллельных прямых. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно

Ответ:

20

Упражнение 20

Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные прямой AA 2 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. BB 1 , CC 1 , DD 2 , A 1 B 2 , D 1 C 2 .

Упражнение 21

Докажите, что прямые AA 2 и CC 1 , проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AA 2 и CC 1 параллельны прямой BB 1 . Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые A A 2 и CC 1 параллельны.

Упражнение 22

Докажите, что прямые AA 2 и D 1 C 2 , проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AA 2 и D 1 C 2 параллельны прямой DD 2 . Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые A A 2 и D 1 C 2 параллельны.

Упражнение 23

Докажите, что прямые AD и B 1 C 1 , проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AD и B 1 C 1 параллельны прямой BC . Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AD и B 1 C 1 параллельны.

Упражнение 24

Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные прямой AB .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. DC , A 1 A 2 , B 1 B 2 , D 1 D 2 , C 1 C 2 , A 3 B 3 , C 3 D 3 .

Упражнение 25

Докажите, что прямые AB и C 1 C 2 , проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB и C 1 C 2 параллельны прямой CD . Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 C 2 параллельны.

Упражнение 26

Докажите, что прямые AB и C 3 D 3 , проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство: Прямые AB и C 3 D 3 параллельны прямой CD . Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 3 D 3 параллельны.

Упражнение 27*

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра октаэдра .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждого ребра имеется только одно ребро, ему параллельное. У октаэдра 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно

28

Упражнение 28*

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра икосаэдра .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждого ребра имеется только одно ребро, ему параллельное. У икосаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно

29

Упражнение 29*

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра додекаэдра .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждого ребра имеется только одно ребро, ему параллельное. У додекаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно

30

Упражнение 30*

В пространстве даны n параллельных между собой прямых. Сколько плоскостей можно провести через различные пары этих прямых, если известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: