Параллельные прямые в пространстве

Параллельные прямые в пространстве

Урок геометрии в 10 классе

Рассмотрите картинки и сделайте вывод, о чем пойдет речь на уроке

ТЕМА УРОКА ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Цели:

Рассмотреть взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых.

Доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности трех прямых.

Закрепить эти понятия на моделях куба, призмы, пирамиды.

ВСПОМНИМ ПЛАНИМЕТРИЮ

• Каково расположение двух прямых на плоскости?

• Какие прямые в планиметрии называются параллельными?

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

m

k

в

а

m

k

II

в

а

a

b

a b

Расположение прямых в пространстве (три случая)

Две прямые в пространстве параллельны друг другу, пересекаются или скрещиваются .

Выясни взаимное расположение прямых в пространстве

B 1

C 1

AB и CD

B 1 C и C 1 C

AD 1 и A 1 D

BC и AA 1

B 1 C 1 и A 1 D

II

∩

D 1

А 1

∩

B

?

C

?

А

D





КАКИЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ НАЗЫВАЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ?

Определение

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются

a

b если

a

 ,



b

a ∩

b

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Дан куб. Являются ли параллельными прямые:

1

1) АА 1 и DD 1 , АА 1 и СС 1 ? Ответ обоснуйте.

2) АА 1 и DС? Они пересекаются?

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIi

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой.

a b

a

b

По рисункам назовите:

2

1) пары скрещивающихся ребер;

2) пары параллельных ребер.

12 см

14 см

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ

стр.13 № 17

D

Точки М, N, P и Q –

середины отрезков

BD, CD, AB и АС.

M

N

Р MNQP - ?

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. № 17.

А

В

P

Q

С

11

ПОВТОРИМ ПЛАНИМЕТРИЮ. Аксиома параллельности.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

b

А

а

Аксиома параллельности поможет доказать теорему о параллельных прямых

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Прямая и не лежащая

на ней точка определяют плоскость

a

b

М

Показать (2)

11

ПОВТОРИМ ПЛАНИМЕТРИЮ.

Следствие из аксиомы параллельности.

b

c

а

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

a II b, c b c a

Это следствие из аксиомы параллельности поможет доказать лемму о параллельных прямых

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость.

Плоскости и имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой (А 3 )

a

b

Прямая р лежит в плоскости

и пересекает прямую а в т. М.

р

М

Поэтому она пересекает и

параллельную ей прямую b

в некоторой точке N.

N

Прямая р лежит также в плоскости , поэтому N – точка плоскости .

Значит, N – общая точка прямой b и плоскости .

ПОВТОРИМ ПЛАНИМЕТРИЮ.

Следствие из аксиомы параллельности.

с

а

b

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

a II с, b II с a II b

Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема

a II с, b II с

Докажем, что a II b

с

a

Докажем, что а и b

• Лежат в одной плоскости
• не пересекаются

b

К

1) Точка К и прямая а определяют плоскость. Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости

.

Допустим, что прямая b пересекает плоскость . Тогда по лемме с также пересекает . По лемме и а также пересекает . Это невозможно, т.к. а лежит в плоскости

2) Используя метод от противного объясните почему прямые а и b не пересекаются.

19

Задача Треугольник АВС и квадрат АEFC не лежат в

одной плоскости. Точки К и М – середины

отрезков АВ и ВС соответственно.

В

Докажите, что КМ II EF.

Найдите КМ, если АЕ=8см.

M

K

С

«Математика. Самостоятельные м контрольные работы по геометрии для 11 класса». Ершова А.П., Голобородько В.В.

А

F

8см

Е

19

ПОДВЕДЕМ ИТОГИ

Алгоритм распознавания взаимного расположения двух прямых в пространстве

а и в

Лежат

ли в одной

плоскости?

Нет

Да

Имеют

хотя бы одну

общую

точку?

Да

Нет

Имеют

более одной

общей

точки?

Да

Нет

.

а в

а в

а  в

а = в

Найдите на рисунке параллельные прямые.

Назовите параллельные прямые и плоскости.

Найдите скрещивающиеся прямые.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

П. 4, 5 теоремы

Понятия: параллельность отрезков, отрезка и прямой, двух лучей в пространстве

Задачи №16, 18

Используемая литература:

1. Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11[Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений/ Атанасян Л.С., В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. –13-е изд. - М.: Просвещение, 2013.-206 с.: ил.-ISBN5-09-013293-3.

2. Яровенко В.Я.Поурочные разработки по геометрии:10 класс [Текст] – М.: ВАКО,2010.-304 с.- (В помощь школьному учителю). ISBN978-5-408-00166-8.