Параметры в одной задаче

Параметры в одной задаче

Выполнил: Котенко Кирилл, 9 Б класс

Научный руководитель: Мальцева Ирина Викторовна

2013год

что это такое?

Вот как определяет параметр “Энциклопедический словарь» П араметр в математике – величина, числовое значение которой позволяет выделить определенный элемент из множества элементов того же рода. Итак, если в математике “параметр” это величина, числовое значение, то в повседневной жизни мы встречаемся с ним? Приведем пример: Неправильно установив диагноз заболевания из-за отсутствия полных данных; из-за невнимательности к некоторым симптомам; врач лечит своего пациента не от реально существующей у него болезни, а совсем от другой. Есть правда, еще и другой путь – лечить сразу от всех болезней, но вряд ли кто-то сочтет его разумным. Итак, наша первая задача – диагностика трудностей, точное и правильное установление “ места затруднения” в задаче.

Что означает «решить задачу с параметром»?

• Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

• Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра. Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

основные способы решения задач с параметром

• Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.
• Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

• Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Задача 1

• . Для всех действительных значений параметра a решите уравнение x3–(2–a)x2–ax–a(a–2)=0 .
• . Исходное кубическое по x уравнение является квадратным относительно a. Поэтому, считая переменную x параметром, перепишем это уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно a, опуская промежуточные шаги по раскрытию скобок и перегруппировке:

0 два решения (3): Второе уравнение совокупности имеет единственное решение (5): x=2–a для любого значения параметра a. Приведем удобный прием представления полученных результатов для дальнейшего продвижения в решении задачи. Будем называть данный прием: «разверткой вдоль оси параметра». Изображаем ось параметра a и отмечаем на ней граничные значения параметра, которые фигурируют в ответах к каждому уравнению совокупности. Все найденные решения уравнений для тех значений параметра a, при которых хотя бы одно решение существует, выписываем в таблице слева (последовательно сверху вниз). Сплошной линией, параллельной оси параметра, указываем те промежутки значений параметра, при которых полученное решение существует. Заметим, что концы промежутков изображаются «светлыми» точками в случае, когда соответствующее решение не существует, а «темными» точками — в противном случае. " width="640"

• a2–(x2–x+2)a – x3 + 2x2 = 0 . Поскольку x2–x+2=x2+(2–x) и – x3+2x2=x2(2–x) , то по обратной теореме Виета a1=x2, a2=2–x . Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности уравнений a=x2 и a=2–x . Первое уравнение преобразуется к виду x2=a , откуда (1): при a решений нет; (2): при a=0 единственное решение x =0 ; при a0 два решения (3): Второе уравнение совокупности имеет единственное решение (5): x=2–a для любого значения параметра a. Приведем удобный прием представления полученных результатов для дальнейшего продвижения в решении задачи. Будем называть данный прием: «разверткой вдоль оси параметра». Изображаем ось параметра a и отмечаем на ней граничные значения параметра, которые фигурируют в ответах к каждому уравнению совокупности. Все найденные решения уравнений для тех значений параметра a, при которых хотя бы одно решение существует, выписываем в таблице слева (последовательно сверху вниз). Сплошной линией, параллельной оси параметра, указываем те промежутки значений параметра, при которых полученное решение существует. Заметим, что концы промежутков изображаются «светлыми» точками в случае, когда соответствующее решение не существует, а «темными» точками — в противном случае.

0 . " width="640"

Данная развертка позволяет легко найти все решения исходного уравнения для любого действительного значения параметра: x=2–a при a ; x=0 или x=2 при a=0 ; или или x=2–a при a0 .

0 , осталось выяснить, при каких значениях a выполняются равенства Пусть тогда первое уравнение приводится к виду t2+t–2=0 , откуда t=1 и t=–2 (не подходит, так как при a 0), т. е. . Аналогично решая второе уравнение, находим a=4 . Полученный результат в таблице 2 проиллюстрирован следующим образом: линии равенства (4) и (5) «сливаются» при a=1 , линии (3) и (5) «сливаются» при a=4 . " width="640"

• Полученные равенства (2)–(5) могут при некоторых значениях параметра a определять одно и то же значение переменной x. Найдем указанные значения параметра. Поскольку значения – различны для всех a0 , осталось выяснить, при каких значениях a выполняются равенства Пусть тогда первое уравнение приводится к виду t2+t–2=0 , откуда t=1 и t=–2 (не подходит, так как при a 0), т. е. . Аналогично решая второе уравнение, находим a=4 . Полученный результат в таблице 2 проиллюстрирован следующим образом: линии равенства (4) и (5) «сливаются» при a=1 , линии (3) и (5) «сливаются» при a=4 .

•   Для изолированных значений параметра естественно приводить числовые значения корней.
• Используя таблицу 2, легко сформулировать окончательный ответ задачи

Задача 2.

• Очевидно, что решение предыдущего примера позволяет, в частности, получить ответ и на поставленный вопрос. Для этого в таблицу 2 удобно ввести еще одну строчку, соответствующую количеству различных корней по переменной x при данном значении параметра a (в дальнейшем будем обозначать указанное число различных корней через N( a ) ). В этом случае таблица 2 будет выглядеть следующим образом

4 . " width="640"

• Количество различных корней для каждого значения a совпадает с числом пересечений соответствующей вертикальной линии с приведенными ранее сплошными горизонтальными линиями (или «темными» точками) с учетом совпадений решений при найденных значениях параметра. Например, при a =2 соответствующая вертикальная линия пересекает сплошные горизонтальные три раза, а при a =4 она хотя и пересекает те же линии, но две из них «сливаются», поэтому при a =4 количество различных корней равно двум, а не трем, т. е. N(2)=3 и N(4)=2.
• Ответ: уравнение имеет один корень при a ; два корня — при a =0 , a =1 , a =4 ; три корня — при 0 a , 1 a a 4 .

Научился сам научи другого