Параметры. От простого к сложному. Практикум решения задач.

Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр.

Решите уравнение с параметром

№1.

Ответ:прии решений нет;

при ;

№2.

Ответ:прии решений нет;

при ;при ;

№3.

Ответ:при решений нет;

При при x=; при

№4.

Ответ:при решений нет;

при ;

№5.

Ответ:при решений нет;

при ;

№6.

Ответ:при ; при ; при ; при;

№7.

Ответ:при решений нет;при при; при

при

№8.

Ответ:при;при;при;при

;при;

Задачи на применение теорем Виета.

№1. Найдите все значения а, при которых квадрат разности различных действительных корней трехчлена меньше 8.

Ответ:(

№2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет два различных действительных корня , удовлетворяющих неравенству

Ответ:(-

№3. Найдите все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней трехчлена равна 2.

Ответ:

№4. Найдите все значения параметра а, при которых сумма квадратов различных корней уравнения будет наименьшей.

Ответ:

№5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет корни разных знаков, причем положительный корень по модулю меньше отрицательного.

Ответ:(-3; 5).

№6. Найдите все значения параметра а, при которых квадратное уравнение

имеет корни одного знака.

Ответ:a 9 .

№7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

Ответ:

№8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно один корень.

Ответ:

№9. Найдите все значения параметра а, при которых имеет только положительные корни.

Ответ:a 3.

№10. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

не имеет корней.

Ответ:a 3.

№11. Найдите все значения параметра а, при которых сумма квадратов различных действительных корней трехчлена не больше 17.

Ответ:[7; 6)(2; 3].

№12. Найдите все значения параметра а, при которых квадрат разности действительных корней уравнения меньше 24.

Ответ:(2;1][4; 5) .

№13. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

Ответ:(0; 1)(1; 1,2) .

№14.Известно, что и –корни уравнения . Не решая уравнение, найдите значение выражения .

№15. Корни уравнения относятся как 7:3. Найдите значения параметра и корни уравнения.

№16.Корни и уравнения удовлетворяют условию Найдите корни уравнения и значение параметра n.

№17. Известно, что и –корни уравнения . Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) 3); 5) .

2) 4) ;

№18. При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения равна

№19.При каких значениях параметра сумма корней уравнения равна нулю?

№20.При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения равна: 1) 12; 2) 6?

№1. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая не имеет с графиком общих точек.

Ответ: При .

№2. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая не имеет с графиком общих точек.

Ответ: При .

№3. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При .

№4. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При .

№5. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№6. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая не имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№7. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: При .

№8. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: При

№9. Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: При

№10. Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: При .

№11. Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая не имеет с графиком общих точек.

Ответ: При k

№12. Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая не имеет с графиком общих точек.

Ответ: При

№13. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: При

№14. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: При

№15. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№16. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№17. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки

Ответ: При

№18. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При .

№19. Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая не имеет с графиком общих точек.

Ответ: При

№20. Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая не имеет с графиком общих точек.

Ответ: При

№21. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№22. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№23. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: При

№24. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: При

№25. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№26. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№27. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком одну или две общие точки.

Ответ: При

№28. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком одну или две общие точки.

Ответ: При

№29. Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая не имеет с графиком общих точек.

Ответ: При k=6,25.

№30. Постройте график функции и определите, при каких значениях k прямая не имеет с графиком общих точек.

Ответ: При

№31. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№32. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№33. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№34. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При

№35. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: При

№36. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: При .

№37. Постройте график функции . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Ответ:

№38. Постройте график функции . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Ответ:

№39. Постройте график функции . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Ответ: 4.

№40. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком не менее одной, не более трех общих точек.

Ответ: При

№41. Постройте график функции и определите, при каких значениях b прямая y=b не имеет с графиком не одной общей точки.

Ответ: При

№42. Постройте график функции и определите, при каких значениях b прямая y=b не имеет с графиком не одной общей точки.

Ответ: При

№43. Постройте график функции +15 и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: При

№44. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: При

№45. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При m

№46. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: При m

№47. Определите количество корней уравнения

Ответ: 4 при 0

№48. Определите количество корней уравнения

Ответ: 4 при 0

Иррациональные уравнения, содержащие параметр.

№1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней.

Ответ: . a

№2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: .

№3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Ответ:

№4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

не имеет корней.

Ответ:

№5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

не имеет корней.

Ответ:a 2, a  0 .

№6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет два различных корня.

Ответ:0  a  2 .

№7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение = имеет только одно решение.

Ответ: при .

№8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (=0 имеет единственное решение.

Ответ: при .

№9. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение = имеет только два решения.

Ответ: при

№10. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение = имеет единственное решение.

Ответ:при

№11. При каких значениях параметра а уравнение = имеет единственный корень?

Ответ: при

№12. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение = имеет только одно решение.

Ответ: при

№13. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение = имеет только два решения.

Ответ: при .

№14. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение = имеет единственное решение.

Ответ:при

Использование четности функции при решении задач с параметром.

№1. (ЕГЭ, 2014) Найти все а, при которых уравнение

имеет единственное решение.

Ответ: а=3; а=7.

№2. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

Ответ: а=0; а=4.

№3. При каком значенииауравнение

имеет единственное решение?

Ответ: a=0.

№4. Найти значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно 7 действительных корней и найти эти корни.

Ответ: приа=-5;

№5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно 7 действительных корней, и найдите эти корни.

Ответ: приа=10;

№6. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение уравнение:

а) =0 Ответ: приа=0, а =

б) Ответ: приа=0, а =

№7. При какиха уравнение имеет единственное решение?

№8. Может ли при каком-нибудь значенииа уравнение

иметь три корня?

№9. Может ли при каком-нибудь значенииа уравнение

иметь пять корней?

№10. Докажите, что уравнение имеет нечетное число корней.

№11. При каких уравнение имеет единственное решение?

Ответ:.

№12.При какихaуравнение имеет единственное решение?

Ответ:.

№13. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет нечетное число корней.

Ответ: при .

№14. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

Ответ: при

1

Квадратные уравнения, содержащие параметр.

№1. Решите уравнение с параметром

а)

б)

в)

г)

Ответ: при а=2 х=2; при а=3 х=3; при 23 решений нет; при 2 и 3

д)

Ответ: при х=2; при х=-2;

при ;

е)

Ответ:при а=0 х=-0,5; при а=1 х=-1; при a1 решений нет; при aa.

№2.Для каждого значения параметра а определите, сколько различных действительных корней имеет уравнение

а)

Ответ:

б)

№3.Найдите все значения параметра а, при которых для уравнения выполняется следующее условие

а)оба корня уравнения меньше двух;

Ответ: a

б) ровно один корень уравнения принадлежит интервалу (0;2);

Ответ: 0  a  1,.

в) один из корней уравнения равен 1, а другой – отрицательный.

Ответ: a=3.

Решите уравнение:

№4.

;

Ответ: Если

Ответ: Если

в)

Ответ:Если

;

Ответ:Если

;

Ответ:Если-1

е);

Ответ:Если -1

;

Ответ:Если1

;

Ответ:Если

№5.

а)

Ответ:

б)

Ответ:

№6.

а)

Ответ: Если 0

б) .

Ответ:Если 2

№7.

а)

Ответ: При всех a

б)

Ответ: : Если

№8.

а)

Ответ:

Если

б)

Ответ:если

в)

Ответ:Если

г) .

Ответ:если

№9.

а)

Ответ: одно решение, если

б)

Ответ:Одно решение, если

в) ;

Ответ: Одно решение, если нет решений, если

г)

Ответ:Одно решение, если нет решений, если

№10.

Ответ:если

Ответ:если

1.

№2.;

№3 .;

№4.;

№5.;

Ответ: при а=2 решений нет; при a=-2 xR; при a 2 ;

№6.;

Ответ: при а=-2 и а=0 решений нет; при a=2 xR; при a 2, а 0 x= ;

№7.;

Ответ:при а=-1 при ax=R;при

№8.;

Ответ:при

№9.;

Ответ:Если

№10.;

Ответ:Если

№11.;

Ответ:При

№12.;

Ответ:Если

№13. ;

Ответ:При

№14.;

Ответ:Если

№15.

Ответ:Если

№16.;

Ответ:При

№17.;

Ответ:Если

№18.;

Ответ:Если

№19.;

Ответ:При решений нет; x= при других значениях.

№20.Определите, при каком значении параметра не имеет решений уравнение:

а)

Ответ:.

б)

Ответ:

№21. Для каждого значения параметра решите уравнение

Решите уравнение с параметром.

1. 

2. 

3. (

4. (

5. 

6. 

7. 

(П.И. Горнштейн, В.Б Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметром»)

8)

9)

(Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра» Дополнительные главы к школьному учебнику 8-го класса.)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

Логарифмические уравнения, содержащие параметр.

№1. Для каждого а решите уравнение

Ответ: При .

№2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет пять корней на отрезке

Ответ: .

№3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно два корня.

Ответ: (-2;0)

№4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно один корень.

Ответ: (-1;

№5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

не имеет корней.

Ответ:

№6. Найдите все значения параметра а, при которых x=1 является корнем уравнения

Ответ: 3.

№7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно семь корней на промежутке

Ответ: .

№8. При каком значении параметра уравнение = имеет единственный корень?

Ответ: при

№9. Уравнение 2lg(lg имеет единственный корень. Найдите все значения параметра при которых это возможно.

Ответ: при

№10. При каких значениях параметра уравнение 2lg(lg имеет только два корня?

Ответ: при

№11.При каких значениях параметра уравнение имеет решение?

Ответ: при

Показательные уравнения, содержащие параметр.

№1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно один корень. Укажите его.

Ответ: При a 5 x log4 (7 a); при а=1 х log4 6 ;

при a 7 x log 4 (5 a) .

№2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно два корня.

Ответ: a2.

№3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

не имеет корней.

Ответ:

№4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

не имеет корней.

Ответ: 5 a 1.

№5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Ответ: 1 a 4.

№6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение =имеет ровно два корня.

Ответ: 2 a 

№7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет единственный корень.

Ответ: при

№8 Найдите все значения параметра а, при которых один из корней уравнения

больше другого в 3 раза.

Ответ: при

№9 Уравнения имеет единственное решение. При каких значениях параметра это возможно?

Ответ: при ;.

№10. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет только один корень.

Ответ: при

№11. При каких значениях параметра

Ответ: при

№12. При каких значениях параметра

Ответ: при

Расположение корней квадратичной функции

№1. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения

меньше 1.

Ответ:

№2.Найдите все значения параметра а, при которыхоба значения х принадлежат промежутку (0;2].

Ответ:

№3. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения

больше числа а.

Ответ:а

№4. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения

лежат по разные стороны от числа 3.

Ответ:a 

№5. Найдите все значения параметра а, при которых ровно один корень уравнения принадлежат отрезку [-1;1].

Ответ:

№6. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения

лежат в интервале (2;5).

Ответ:

№7. Найдите все значения параметра а, при которых функция определена ровно в одной точке.

Ответ:

№8. Найдите все значения параметра а, при которых корни трехчлена принадлежат интервалу (4;8).

Ответ: (

№9. Найдите все значения параметра а, при которых ровно один корень уравнения входит в промежуток (-2;3).

Ответ:(-4;-

№10. Найдите все значения параметра а, при которых оба корня уравнения

меньше 2.

Ответ:(-

№11. Найдите все значения параметра а, при которых оба корня уравнения

больше -2.

Ответ:(-

№12. Найдите все значения параметра а, при которых ни один из корней уравнения не входит в промежуток (1;5).

Ответ:(-

№13.Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

а) не имеет корней;

б) имеет два равных корня;

в) имеет два различных корня;

г) не имеет корней на отрезке

д) имеет два различных корня на отрезке

е) имеет хотя бы один корень на отрезке

ж) имеет ровно один корень на промежутке

з) не имеет корней, больше -2

Ответ:а)

№14.Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

а) не имеет корней;

б) имеет два равных корня;

в) имеет два различных корня;

г) не имеет корней на промежутке

д) имеет два различных корня на промежутке

е) имеет хотя бы один корень на промежутке

ж) имеет ровно один корень на промежутке

з) не имеет корней, больше 4.

Ответ:а)

№15. При каких значениях параметра а уравнение

а) имеет только отрицательные корни;

б) имеет корни разного знака?

Ответ:а)

№16. Найдите все значения p, при каждом из которых корни уравнения ( заключены в интервале (1;3).

Ответ:

№18. Определите, сколько решений, удовлетворяющих заданным ограничениям, в зависимости от значений параметра имеет уравнение

а)

б) , где

в) (, где 0.

Ответ:а) два корня при

в) два корня при