«Паркет из правильных многоугольников»

Паркет из правильных многоугольников

Ваполнил: Гасанов Фаиг ученик 9 Б

Руководитель: Гасанова Марина Вахтановна

учитель математики

Цель и задачи проектной работы.

• Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы по теме.
• Изучить геометрические приёмы составления паркетов.
• Ознакомится с историей паркетов.

Проблема

Вопрос: из каких фигур можно составить правильный паркет, и какой количество этих фигур нужно использовать.

Методы исследования:  

• анализ литературы;
• систематизация материала;
• метод аналогии.

При работе над проектом я пользовалась материалом из книг, журналов, использовала Интернет - ресурсы.

Гипотеза

Если изучить применение правильных многоугольников, то можно выявить основные причины их использования.

«Историческая справка»

Царицыно Екатерининский зал большого дворца

• Паркет-французское слово.
• В ср. в. во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя - предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром.
• Ковры исчезли, паркетные полы стали частью интерьера
• В России, стране с холодным климатом и огромным количеством лесов, зарождение паркета было лишь вопросом времени.  
• Паркетные полы были нововведением Петра I

• цветные (т. е. набранные из привозных деревьев),
• полуцветные,
• штучные (набранные из местных пород)
• дубовые.

Паркет в Эрмитаже

Теория

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, звенья которой не пересекаются.

Пра́вильный многоуго́льник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы

Паркет - заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

• Паркет называется правильным , если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

• Полуправильный паркет-это паркет, при составлении которого использовалось несколько правильных многоугольников с различным числом сторон.

В основе любого паркета лежит математическая строгость организации формы, простая или усложненная система поворотов, узор, который строится на симметрии или при помощи параллельного переноса.

Паркеты из одинаковых (одноименных) правильных многоугольников

Главное условие, необходимое для построения паркетов:

• Геометрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «налезут» друг на друга.

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных

n -угольников, то должно выполняться равенство:

m*180º*(n-2)/n=360º.

Величина угла правильного n-угольника равна

180º*(n-2)/n

После преобразований получим: m=2*n/(n-2), m – натуральное число.

7; 8; 9… ) построить нельзя! Правильный паркет можно построить из: правильных треугольников; правильных шестиугольников; правильных четырехугольников; " width="640"

Паркеты из одинаковых (одноименных) правильных многоугольников

m =2*n/(n-2), m – натуральное число

• Если n= 3 , m= 6 (6 треугольников в узле).
• Если n= 4 , m= 4 (4 четырёхугольника в узле).

• Если n= 5 , m= 3,333333 …

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

• Если n= 6 , m= 3 (шестиугольника)

• Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Правильный паркет можно построить из:

• правильных треугольников;
• правильных шестиугольников;
• правильных четырехугольников;

60º , (т.к. внутренний угол правильного треугольника 60º), т.е. 60º ≤ 180º*(n-2)/n 360 º/ 2 =180º, значит, окрестность точки нельзя замостить двумя правильными многоугольниками. 360 º/ 3 =120 º360 º/ 4 =90 º360 º/ 5 =72 º360 º/ 6 =60 ºОкрестность точки можно замостить 3, 4, 5, 6 правильными многоугольниками " width="640"

Полуправильные паркеты из разноименных многоугольников

• Величина каждого угла 180º*(n-2)/n

• в то же время 180º*(n-2)/n 60º , (т.к. внутренний угол правильного треугольника 60º),

т.е. 60º ≤ 180º*(n-2)/n

• 360 º/ 2 =180º, значит, окрестность точки нельзя замостить двумя правильными многоугольниками.

• 360 º/ 3 =120 º
• 360 º/ 4 =90 º
• 360 º/ 5 =72 º
• 360 º/ 6 =60 º

Окрестность точки можно замостить 3, 4, 5, 6 правильными многоугольниками

 1

60

 2

 3

60

60

 4

 5

60

 6

60

60

 1+  2+…=360 

Паркет из 3-ов

Вид паркета

правильный

 1

 2

60

60

 3

 4

60

60

 5

120

 6

 1+  2+…=360 

Паркет из 3-ов и 6-ка

Вид паркета

полуправильный

 1

 2

60

60

 3

 4

60

90

 5

90

 6

 1+  2+…=360 

Вид паркета

Два паркета из 3-в и 4-в

полуправильный

 1

 2

60

 3

60

 4

120

 5

120

 6

 1+  2+…=360 

Вид паркета

Паркет из 3-в и 6-в

полуправильный

 1

 2

60

 3

90

 4

90

 5

120

 6

 1+  2+…=360 

Вид паркета

Паркет из 3-в, 4-в и 6-в

полуправильный

 1

60

 2

150

 3

150

 4

 5

 6

 1+  2+…=360 

Вид паркета

Паркет из 3-в и 12-в

полуправильный

 1

 2

90

 3

90

90

 4

 5

90

 6

 1+  2+…=360 

Паркет из квадратов

Вид паркета

правильный

 1

90

 2

120

 3

150

 4

 5

 6

 1+  2+…=360 

Вид паркета

Паркет из 4-в, 6-в и 12-в

полуправильный

 1

 2

90

 3

135

 4

135

 5

 6

 1+  2+…=360 

Вид паркета

Паркет из 4-в и 8-в

полуправильный

 1

120

 2

 3

120

 4

120

 5

 6

 1+  2+…=360 

Вид паркета

Паркет из 6-ов

правильный

Практическая работа

S комнаты=3м*1,5м=

30 150‬ рублей

40 050рублей

1,5 м

3м

Размеры плитки 300х300мм

S плитки===

Количество штук на комнату=4,5/0,09= 50шт

Размеры плитки=780х780 мм

S плитки= = =

Количество штук на комнату=57,4

Практическая работа Вариант 1

S комнаты=3м*2,5м=

2,5 м

3м

116 250‬ рублей

Размеры плитки=600х600 мм= 0,6м х 0,6м

S плитки= =

Количество штук на комнату = 7,5 : 0,36 = 21 шт

D=MC=0,3*2=0,6 м Колическтво штук на комнату = 7,5 :0, 0675 = 112 шт 7,5 * 10 900= 81 750 рублей " width="640"

Практическая работа Вариант 2

C D

300 мм = 0,3 м

S комнаты = 7,5

Н

B O

A M

MABC - равнобедренная трапеция, BH - высота

=

МА=АВ=ВС =0,3 м - по определению шестигранника

В тр.СВН

ВН= 0,3 :2=0,15 м - по свойству прямоугольного треуг.

( по свойству правильного многоугольника описанного около окружности)=D=MC=0,3*2=0,6 м

Колическтво штук на комнату = 7,5 :0, 0675 = 112 шт

7,5 * 10 900= 81 750 рублей

Остальные виды паркетов.

• Квазиправильный паркет (или многогранник)— однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа.

• Сферический паркет или сферический многогранник —разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов.

• Неоднородные паркеты . Существует бесконечное множество неоднородных паркетов, состоящих из правильных много угольников.

Список литературы

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%B5%D1%82

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA