Перестановки,размещения

Перестановки.

Размещения.

Сочетания.

Урок решения комбинаторных задач

9 класс

Пусть имеются три кубика с буквами А, В и С.

Составьте всевозможные комбинации из этих букв.

ABC АСВ

ВСА ВАС

CAB CBA

Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв (перестановка букв).

В

С

А

Перестановки

Перестановки — это комбинации, составленные из одних и тех же элементов и отличающиеся порядком их следования.

Число всех возможных перестановок элементов обозначается P n , и может быть вычислено по формуле:        

Формула перестановки:

      Р n =n!

При перестановке число объектов остается неизменными,

меняется только их порядок

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно.

Запомнить

Для произведения первых n натуральных чисел используют специальное обозначение :

n ! (« n факториал» )

Pn=n!

5!=1*2*3*4*5=120

3 объекта

Р n =n!

Р 3 =3!=1 ∙2∙3=6

количество перестановок 6

Задача 1. В турнире участвуют семь команд. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? 

Р 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040

Ответ: 5040

Задача 2. Сколькими способами могут разместиться за круглым

столом 10 человек? 

Р 10  =10! = = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3628800 

Ответ: 3628800

• Вычислить: а) 5!

2. В среду в 9 классе 6 уроков: алгебра, русский язык, черчение, биология, химия, обществознание. Сколько вариантов расписания можно составить на среду?

Размещения

Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой .

Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m , а их число равно:

Формула размещения:

При размещениях меняется и состав выбранных объектов, и их порядок.

3 объекта

n =3 - всего объектов (различных фигур)

m = 2 – выбор и перестановка объектов

Размещение по 2 фигуры

Сколькими способами можно расставить 5 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии семи книг?

Ответ: 2520 способов

• Вычислить:

2. Найти количество трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 60 чисел

Сочетания

3 объекта

Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов все возможными способами

Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m ,

В сочетаниях меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен

Задача: Сколькими способами можно распределить три путевки в один санаторий между пятью желающими? 

Так как путевки предоставлены в один санаторий, то варианты распределения отличаются друг от друга хотя бы одним желающим. Поэтому число способов распределения

Ответ: 10 способов.

Задача:

Группу из 20 студентов следует рассадить в аудитории по 2 человека за каждой партой. Порядок их размещения не имеет значения. Определить количество возможных вариантов сочетаний.

Ответ: 190

Задача: В цехе работают 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 7 человек, чтобы в ней было 3 женщины? 

Из пяти женщин необходимо выбирать по три, поэтому число способов отбора      .

Так как требуется отобрать четырех мужчин из семи,

то число способов отбора мужчин      

Ответ: 350

Простейшие комбинации

Перестановки

Размещения

n элементов

n клеток

Сочетания

n элементов

k клеток

Порядок имеет значение

n элементов

k клеток

Порядок имеет значение

Порядок не имеет значения