Перевод дробных чисел из одной стемы в другую

Тема: перевод дробных чисел

Цель дать понятие о дробных числах и о их переводе в другие системы счисления

Каждый знает, что дроби бывают обыкновенные и десятичные. Обыкновенная дробь представляет собой отношение целого числа к натуральному. Поэтому ее перевод в другую систему счисления трудности не представляет: надо отдельно перевести в новую систему счисления числитель и знаменатель, затем записать их отношение. Запись числа десятичной дробью — это распространение позиционного принципа вправо от разряда единиц. Вспомните: при переходе на один разряд влево «вклад» цифры увеличивается в 10 раз, а при переходе на один разряд вправо уменьшается в 10 раз. Так что запись 1,38054 обозначает число: 1⋅100+3⋅10−1+8⋅10−2+0⋅10−3+5⋅10−4+4⋅10−5.

Легко понять, что и здесь вместо числа 10 можно использовать любое другое натуральное число b, большее 1. Скажем, 1,38054b=1⋅b0+3⋅b−1+8⋅b−2+0⋅b−3+5⋅b−4+4⋅b−5.

По аналогии с десятичными дробями будем называть такую запись дробного числа b-ичной дробью. Так же как и для целых чисел, каждая цифра, используемая в записи b-ичной дроби, должна быть меньше b. Как же переводить десятичную дробь в b-ичную? Для того что-бы найти алгоритм, запишем b-ичную дробь c=0,a1a2...an в виде суммы разрядных слагаемых: c=a1⋅b−1+a2⋅b−2+...+an−1⋅bn−1+an⋅b−n.

Из этой записи видно, что целая часть числа bc=a1,a2...an дает первую цифру после запятой в указанном представлении числа c. Выделив в bc дробную часть, поступим с ней точно так же   умножим на b. Таким образом мы получим еще одну цифру — a2. И так далее. Вот пример перевода десятичной дроби 0,36 в пятеричную систему:

Ответ: 0,145.

А теперь попытаемся перевести ту же дробь в семеричную систему счисления:

Обратите внимание: после четвертого умножения мы снова получили дробь 0,36. Это значит, что дальше процесс будет повторяться и никогда не закончится! Тем самым после перевода числа 0,36 в семеричную систему счисления получается бесконечная периодическая дробь: 0,23432343...7= 0,(2343)7. При переводе конечной b-ичной дроби в десятичную систему тоже может получиться бесконечная дробь. К примеру, запись 0,13 представляет одну треть и, следовательно, в десятичной системе будет выглядеть как бесконечная десятичная дробь 0,33333...=0,(3).
Как вы знаете, бесконечные дроби нередко округляют, оставляя такое количество разрядов, которое обеспечивает необходимую точность.

Напомним, что в десятичной системе правило округления таково: если цифра в разряде, с которого производится округление, меньше 5, то цифра в предшествующем разряде не меняется, в противном случае она увеличивается на 1.

Для b-ичной дроби правило нужно модифицировать: если цифра в разряде, с которого производится округление, меньше b/2, то цифра в предшествующем разряде не меняется, в противном случае она увеличивается на 1.

Например, дробь 0,23432343...7 при округлении до третьего разряда после запятой дает 0,2347, а при округлении до шестого разряда после запятой даёт 0,2343247.