Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 ° . Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥ b . Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые

а и с скрещивающиеся

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

Дано: а ⃦ b и а ⊥ с. Доказать: b ⊥ c.

Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а ⊥ с , то ∠ АМС = 90 ° Т.к. а ⃦ b , а ⃦ МА, то b ⃦ МА. Итак, b ⃦ МА, с ⃦ МС,

∠ АМС = 90 ° , т. е. b ⊥ c . Лемма доказана.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярность прямой a и плоскости α обозначается так: а ⊥ α .

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Дано : а ║ а 1 , а ⊥ α .

Доказать: а 1 ║ α

Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α . Так как а перпендикулярна α , то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а 1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а 1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α , т.е. а 1 перпендикулярна α . Теорема доказана.

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано: a ⊥ α , b ⊥ α (а)

Доказать : a ║ b .

Доказательство:

Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b 1 , параллельную прямой a . По предыдущей теореме b 1 ⊥ α . Докажем ,что прямая b 1 совпадает с прямой b .Тем самым будет доказано ,что a ║ b . Допустим ,что прямые b и b 1 не совпадают . Тогда в плоскости β ,содержащей прямые b и b 1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c ,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a ║ b . Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: а ⊥ р, а ⊥ q , р и q лежат в плоскости α .

р ⋂ q = О. Доказать: а ┴ α

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l , параллельную прямой m . Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, и l соответственно в т. Р, Q , и L .

Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и А Q =В Q . Следовательно, Δ АР Q = Δ ВР Q по трём сторонам, поэтому углы АР Q и ВР Q равны

Δ АР L = Δ ВР L , поэтому А L = BL . Следовательно Δ АВ L -равнобедренный и l ⊥ а. Т.к. l ║ m, l ⊥ а, то m ⊥ а . Итак а ⊥ α .

Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а , а 1 ║ а. По лемме

а 1 ⊥ р и а 1 ⊥ q , поэтому а 1 ⊥ α . Отсюда, а ⊥ α .

Теорема доказана.

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.

Доказательство: Данную плоскость обозначим α , а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна.

• Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскость β , проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β . В плоскости β через точку М проведем прямую с , перпендикулярную к прямой b . Прямая с и е сть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α , т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (с ⊥ b по по построению и с ⊥ а, так как ( β ⊥ α ).

2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее через с1 ), перпендикулярная к плоскости α . Тогда с 1 ║ с , что невозможно, т. к. прямые с 1 и с пересекаются в точке М. Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости α . Теорема доказана.