Тема урока : Перпендикулярность прямых в пространстве .

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока : Перпендикулярность прямых в пространстве .

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..

Доказательство:Дано: a ‖ b, a ⊥ c

Доказать: b ⊥ c .Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90^о.

Так как b ‖ a, а а ‖ МА, то b ‖ МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90^о, т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90^о .Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90^о, то есть b ⊥ с.  Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство:Дано: a ‖ а₁, а ⊥ α

Доказать, что а₁ ⊥ α

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а₁ ⊥ x.Таким образом, прямая а₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а₁ ⊥ α .Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Дано: а ⊥ α, b ⊥ α

Доказать, что а ‖ b

Доказательство:Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой а.

М ∊ b, M ∊b₁, b₁ ‖ a. По предыдущей теореме b₁ ⊥ α. Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b₁ и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b₁, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b₁ ∊ β, α   β = c (невозможно)→ а ‖ b . Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Рис. 2.

Доказательство.

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α. Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

Рис. 3.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Домашнее задание : Тестовая работа .

1)Выбор элемента из выпадающего списка

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC ).

Варианты ответов:

1)AD, A₁D₁, BC, B₁C₁

2)AD, AC, AD₁,

3)ВС, ВА.

Пример 2

Утверждение:

• Две прямые называются перпендикулярными, если …..

Варианты ответов:

1)

2)

3)параллельны

4)она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.

5)перпендикулярна плоскости.

Пример 3

Утверждение

• Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

Варианты ответов:

1)

2)

3)параллельны

4)она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.

5)перпендикулярна плоскости.

Пример 4

Указать верный ответ:

1) Две прямые имеют общую плоскость, через которые можно провести плоскость.

2) Провести плоскость если две прямые не имеют общую точку.

3) Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость.

4) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они не пересекаются.

Пример 5

Прямая перпендикулярная к двум различным плоскостям, тогда плоскости:

1) пересекаются 2) скрещиваются 3) параллельны 4) нельзя определить