Перпендикулярные прямые и их свойства.

Перпендикулярные прямые.

Вспомним взаимное расположение двух прямых. Две прямые могут пересекаться, т.е. иметь одну общую точку; могут не пересекаться, т.е. не иметь общих точек; и могут совпадать, т.е. иметь бесконечно много общих точек. Из этих трёх вариантов только пересечение двух прямых имеет разновидности. При пересечении двух прямых получается четыре угла, среди которых есть две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Но есть один случай, когда все четыре угла одинаковые. Это тот случай, когда каждый из четырёх углов – прямой, т.е. градусная мера каждого угла равна . Это особый случай пересекающихся прямых.

Определение. Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом (под углом ).

ТЕОРЕМА I: Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и, притом, только одну.

Дано: – прямая, .

Доказать: .

Доказательство.

1. Так как , то она разделила прямую на две полупрямые: и . По аксиоме VII (от любой полупрямой, от её начальной точки, в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной меры, меньшей и, притом, только один) от полупрямой , от её начальной точки можно отложить угол , равный . Значит, прямая , проходящая через точку образует с прямой прямой угол, т.е. (по определению).

2. Докажем, что прямая единственная. Предположим, что существует ещё одна прямая , проходящая через точку , и составляющая с прямой прямой угол. Тогда . А это противоречит той же аксиоме VII, которая утверждает, что угол заданной градусной меры можно отложить только один. К противоречию пришли потому, что сделали неправильное предположение, значит, второй прямой , перпендикулярной прямой и проходящей через точку не существует.

3. Итак, , ч.т.д.

ТЕОРЕМА II: Через любую точку, не лежащую на данной прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и, притом, только одну.

Дано: – прямая, .

Доказать: .

Доказательство.

1. Выберем на прямой произвольную точку . Это возможно по аксиоме I (существуют точки принадлежащие и не принадлежащие прямой). Через две точки и можно провести прямую и только одну (аксиома I). Эта прямая будет пересекать прямую под некоторым углом. Так как прямая состоит из бесконечного количества точек, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку и пересекающих прямую . И среди этого бесконечного множества прямых есть прямая, которая будет составлять с прямой прямой угол, т.е. .

2. Докажем, что прямая единственная. Предположим, что существует ещё одна прямая , проходящая через точку , и составляющая с прямой прямой угол. Тогда получается треугольник , в котором два угла прямые. Но как бы вы ни старались, вы не сможете построить треугольник с двумя прямыми углами. Его попросту не существует. Значит, мы сделали неправильное предположение, т.е. ещё одной прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой не существует.

3. Итак, , ч.т.д.

Свойство. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами либо равны, либо в сумме составляют .

Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов точку их пересечения. Эта точка называется основанием перпендикуляра.

и – перпендикуляры к прямой .

О пределение. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Перпендикулярные прямые обладают ещё другими свойствами, но мы их рассмотрим позднее, после изучения параллельных прямых.

Построение прямых углов на местности.

Изучая построение углов на местности, мы познакомились с основными инструментами, которые используются для этой цели. Но все они использовались, в основном, для измерения углов. А для построения прямых углов существует простейший прибор – экер, а также более современный прибор – теодолит (или электронный тахеометр).

Экер – это простейший прибор, предназначенный для построения прямого угла. Он состоит из двух брусков, расположенных под углом , и закреплённых на треножнике. На краях брусков вбиты гвозди так, что прямые, которые проходят через них перпендикулярны друг другу. Отвес служит для точной установки экера в нужное место на местности.

Чтобы построить прямой угол с заданной стороной , треножник с экером устанавливают в том месте, где должна располагаться вершина прямого угла (точка ), при этом, экер должен быть в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный в точке пересечения перпендикулярных прямых, проходящих через гвозди, должен находиться точно над вершиной угла . Затем необходимо установить один из брусков так, чтобы его направление совпадало с направлением заданной стороны ( ), совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, установленной в точке . Далее по направлению второго бруска провешивают прямую линию ( ). Получаем прямой угол на местности.

Теодолит – это измерительный прибор, предназначенный для построения и измерения горизонтальных и вертикальных углов при топографических съёмках, геодезических работах, в строительстве и т.п. Основной рабочей мерой в теодолите являются лимбы с градусными и минутными делениями.

П
остроение прямого, как, впрочем, и любого другого угла с помощью теодолита – достаточно сложный процесс. Нам достаточно знать о его существовании, и как он выглядит.

1. И спользуя данные, отмеченные на рисунках, укажите перпендикулярные прямые.

1. Начертите угол и отметьте три точки: одна из которых лежит во внутренней области угла; другая – во внешней области угла; третья – на стороне угла. Проведите через эти точки прямые, перпендикулярные обеим сторонам данного угла. Запишите необходимые обозначения.

2. Докажите, что если биссектрисы углов и перпендикулярны, то точки и лежат на одной прямой.

3. При пересечении прямых и образовались четыре угла. Луч перпендикулярен прямой и проходит между сторонами угла . Найдите угол , если . Сделайте рисунок.

4. Ч
   ерез вершину угла , равного , проведена прямая так, что . Найдите угол между прямой и прямой, содержащей биссектрису данного угла.

5. Н
   а рисунке изображён куб. Запишите прямые, перпендикулярные прямой и прямые, перпендикулярные прямой , на которых лежат рёбра куба.

6. Равны ли острые углы и , если ? Ответ обоснуйте.

7. Чему равна сумма острого угла и тупого угла , если ? Ответ обоснуйте.

8. Н
   а рисунке прямые и перпендикулярны, . Найдите .

9. На рисунке прямые и перпендикулярны, . Найдите .

1. Н
   а рисунке из точки проведены лучи и , причём, . Угол, образованный биссектрисами углов и , равен . Найдите углы и .

2. Н
   а рисунке из точки проведены лучи и , причём, . Угол, образованный биссектрисами углов и , равен . Найдите углы и .

3. На рисунке даны два угла и с общей вершиной. Стороны одного угла перпендикулярны к сторонам другого угла. Найдите эти углы, если разность между ними равна прямому углу.

4. У
   глы и смежные, – биссектриса угла , луч принадлежит области угла и перпендикулярен . Является ли биссектрисой угла ? Ответ обоснуйте.

5. Два равных тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла.

6. Из вершины развёрнутого угла проведены два луча, которые делят его на три равные части. Докажите, что биссектриса среднего угла перпендикулярна сторонам развёрнутого угла.

7. Докажите, что сумма каждых трёх углов, не прилежащих один к другому и образуемых тремя прямыми, проходящими через одну точку, равна двум прямым углам.

8. Докажите, что сумма каждых пяти углов, не прилежащих один к другому и образуемых пятью прямыми, проходящими через одну точку, равна двум прямым углам.

9. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

10. Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной прямой, не имеют общих точек.

11. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

12. Даны три прямые . Докажите, что если и , то прямые и не имеют общих точек.

13. Докажите, что если три из четырёх углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.

14. С
    помощью угольника проведите прямые, перпендикулярные прямым, изображённым на рисунке.

15. Н
    а рисунке пересекаются три прямые. Запишите, какие из этих прямых перпендикулярны. Найдите остальные углы.

16. Н
    а рисунке прямые и перпендикулярны, . Найдите .

17. Н
    а рисунке прямые и перпендикулярны, . Найдите .

18. Даны два непересекающихся угла с общей вершиной, причём, их стороны соответственно перпендикулярны, и один угол в два раза меньше другого. Найдите эти углы.

19. Даны два пересекающихся по лучу угла и , причём, известно, что их сумма составляет прямого угла, и что продолжение стороны за вершину делит угол пополам. Найдите эти углы.

20. Через вершину угла, равного , проведена прямая, перпендикулярная его биссектрисе. Чему равны углы, образованные этой прямой и сторонами данного угла?

3