Первообразная. Интеграл

Тема: Вычисление неопределённого интеграла.

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Неопределенный интеграл

Отыскание функции F(x) по известному ее дифференциалу (или по известной производной) называется интегрированием, т.е. интегральное исчисление решает задачу, обратную задаче нахождения производной: найти функцию F (х), зная ее производную F ^/(х)= f ( x ).

О. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для любого x принадлежащего(a;b) выполняется равенство F ^/(x) = f(x).

Теорема 1 . Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f ( x ) задается формулой F(x) + C, где C – постоянное число.

О. Неопределенным интегралом от функции f (х) (или от выражения f(x)dx ) называется совокупность всех ее первообразных.

Если F ( x ) – первообразная для f ( x ), то , где C – произвольное число. Здесь f(x)-подынтегральная функция, f(x)dx –подынтегральное выражение, х- переменная интегрирования.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F ^/(x) = f(x) соответствует 

 Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

Таблица неопределенных интегралов.

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.  

Метод непосредственного интегрирования.

Пример 1.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 2.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 3.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 4.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 5.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 6.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Контрольная работа

Задание 1. Найти первообразные следующих функций

1 вариант

_{а) у = 1} ; б)

в) у =3sinx ; г) д)

е) y = sin 2x + 2cos 3x

2 вариант

1. б)

в) г) д)

е)