Первообразная. План урока

Тема: Определение первообразной (2ч)

Цель занятия:

1. Повторить понятие производной функции, ее физический смысл, основные формулы дифференцирования; ввести понятие первообразной функции, научить студентов определять является ли функция F(x) первообразной для функции f(x).

2. Способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.

3. Побуждать у студентов само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

Ход занятия

Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F'(x)= f (x).

Основное свойство первообразных.

Если F (x) – первообразная функции f (x), то и функция F (x)+ C , где C –произвольная постоянная, также является первообразной функции f (x) (т.е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С ).

Геометрическая интерпретация.

Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Таблица первообразных.

Правила нахождения первообразных .

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда:

1.  F ( x ) ± G ( x ) – первообразная для f ( x ) ± g ( x );

2.   а F ( x ) – первообразная для а f ( x );

3.  – первообразная для а f ( kx + b ).

1. Выполнение упражнений

2. Итоги занятия

3. Домашнее задание

По учебнику «Алгебра и начала анализа» 10-11клас. А.Н. Колмогоров стр. 169-171

Тема: Основные свойства первообразной (4ч)

Цель занятия:

1. Сформировать представление о понятии "первообразная", способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации.

2. Развивать навыки мыслительной деятельности при анализе и структурировании учебного материала

3. Способствовать привитию культуры умственного труда, воспитывать организованность и сосредоточенность

Ход занятия

 Пусть функция   определена на некотором промежутке  D. Функция   называется первообразной функции  , если

для всех  .

      Если к первообразной   функции   прибавить любую постоянную  C, то полученная функция     также является первообразной, поскольку

      Справедливо и более сильное утверждение:

      Любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину  C.

      Действительно, пусть   и   для всех  .
      Тогда   и, следовательно, разность   есть величина постоянная:

1. Выполнение упражнений

2. Итоги занятия

3. Домашнее задание

По учебнику «Алгебра и начала анализа» 10-11клас. А.Н. Колмогоров стр. 172-176

Тема: Три правила нахождения первообразной (4ч)

Цель занятия:

1. Рассмотреть правила нахождения первообразных и упражнять студентов в их применении,

2. выработка умений находить первообразную, график которой проходит через данную точку и первообразные функции в случаях, непосредственно сводящиеся к применению таблицы первообразных и трех правил нахождения первообразных.

Ход занятия

Правило 1
Если F есть первообразная для f, a G — первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

Действительно, так как F'=f и G'=g, по правилу вычисления производной суммы имеем:
(F+G)'=F'+G'=f+g.

Правило 2
Если F есть первообразная для f, a k — постоянная, то функция kF — первообразная для kf.

Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

(kF)'=kF'=kf.

Правило 3
Если F (х) есть первообразная для f (x), a k и b — постоянные, причем k≠0, то   есть первообразная для f (kx+b).

Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:

1. Выполнение упражнений

2. Итоги занятия

3. Домашнее задание

По учебнику «Алгебра и начала анализа» 10-11клас. А.Н. Колмогоров стр. 176-179