Первый признак подобия треугольников

B`

C`

A`

Два треугольника называются подобными, если

их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Первый признак подобия треугольников

• ЕСЛИ ДВА УГЛА ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ ДВУМ УГЛАМ ДРУГОГО, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ.

Дано: ABCD –

параллелограмм,

Е принадлежит DC ;

F = AE BC ;

DE=8 см ;

EC=4 см ;

BC = 7 см ;

AE =10см.

Найти:

EF и FC .

∟ AED=∟FEC (вертикальные) ∟ADE=∟FCE (накрест лежащие)

∆ AED и ∆FEC – подобны (по двум углам)

Ответ: EF=5 см; FC=3,5 см.

Решим задачу:

• По данным рисунка найдите х .

8

12

6

а)

Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

∟ A=∟A`

АВ:А `B`=AC:A`C`;

∆ ABC ∆A`B`C`

Задача №559

На одной из сторон данного угла А отложены отрезки

АВ=5см и АС=16 см. На другой стороне этого же угла

отложены отрезки AD =8см и AF =10см. Подобны ли

треугольники ACD и AFB ?

Дано: АВ=5см

АС=16см, AD =8см,

AF =10см.

Найти: ACD и AFB

подобны?

Решение

1) ∟А- общий

∆ ACD и ∆AFB

подобны по углу и двум сторонам.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

• Подобны ли треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , если АВ=3см, ВС=5см, СА=7см, А 1 В 1 =4,5см , В 1 С 1 =7,5см , С 1 А 1 =10,5см?

Треугольники подобны, если

Проверим:

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

EFG

Дано:

EH=HF

EI=IG

Доказать:

HI

FG

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА ПАРАЛЛЕЛЬНА ОДНОЙ ИЗ ЕГО СТОРОН И РАВНА ПОЛОВИНЕ ЭТОЙ СТОРОНЫ.

Задача

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

ED – средняя линия → AB ‌‌ ‌ ED→

∟ 1=∟2, ∟3=∟4 (накрест лежащие)→ ∆ ACB подобен ∆ECD (по двум углам).

Значит:

Но AB=2ED , поэтому AO=2OD,

BO=2OE.

Таким образом, точка О пересечения

медиан AD и BE делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

D

А

D

1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

В

С

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённом между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

А

D

С

В

Самостоятельная работа

Вариант 2

Дано:

Вариант 1

Дано:

Найти:

Найти: