Первообразная и интеграл

У=0,5х+1

Криволинейная трапеция

У=х²+2х

-1

-2

0

2

0

1

0

2

-1

-1

0

Какие из заштрихованных на рисунке фигур являются криволинейными трапециями, а какие нет?

Заполнить таблицу

№ 1

№ 2

Да/нет

№ 3

№ 4

№ 5

№ 6

Задание для заполнения таблицы на следующем слайде

2

3

1

Не верно

верно

верно

у

у

у

y = f(x)

y = f(x)

3

y = f(x)

У=1

0

х

0

х

0

х

6

4

5

y = f(x)

у

у

у

y = f(x)

y = f(x)

У=3

Для проверки триггер – нажать на кнопку с № ответа (верно/неверно)

0

х

0

х

0

х

Не верно

верно

Не верно

51

Примеры

y

y

Y=f(x)

Y=f(x)

0

a

b

0

a

b

x

x

y

y

Y=f(x)

b

a

0

x

b

a

0

x

Y=f(x)

52

Вычислите площадь криволинейной трапеции 2-мя способами

1) Используя формулу площади

трапеции из геометрии, получим:

у

5

3

2) Найдите F(x) и вычислите

S по формуле S=F(b)-F(a)

1

х

3

О

1

x = 2

№ 999(1). Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y = (x- 1 ) 2 , осью Ox и прямой x =2.

Анимация по щелчкам –построение графика – сдвиг оси ОУ на 1 влево

53

задание 1

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной :

графиком функции f(x) = х 2 и прямыми у = 0, х = 1, х = 2.

,

Алгоритм решения:

1.Начертим все линии. Заштрихуем образованную ими криволинейную трапецию. Сделаем запись:

Фигура является криволинейной трапецией

2.Найдём одну из первообразных функции f(x) = х 2 :

3. По чертежу определим значения

a и b

a = 1 b = 2

4 .Подставим полученные значения в формулу для нахождения площади криволинейной трапеции и вычислим

х

( кв.ед.)

Площадь криволинейной трапеции.

Анимация по щелчку

где F(x) – любая первообразная функции f(x) .

53

Найти площадь криволинейной трапеции,

изображенной на рисунке

У=х²

Решение – анимация по щелчку

1

0

3

1

53

I

I

Найти площадь криволинейной трапеции,

изображенной на рисунке

1

y =sinx

0

-1

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Геометрический смысл определенного интеграла

• Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Геометрический смысл определенного интеграла

Замечание : Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то

Геометрический смысл определенного интеграла

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Вариант 1

Вариант 2

f(x) = 2x – 3

f(x) = – 2x – 3

y = 0, x = 3, x = 5

y = 0, x = – 5, x = – 3

Сделать проверку, используя любой другой известный способ.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, используя формулу Ньютона-Лейбница (ход решения на следующем слайде)

f(x) = 2x – 3

f(x) = – 2x – 3

Проверка

Вариант 1

Вариант 2

у

у

0 3 5 х

- 5 - 3 0 х

Используя формулу площади трапеции (геометрия)

Вариант 1

Вариант 2

f(x) = – 2x – 3

f(x) = 2x – 3

у

у

0 3 5 х

- 5 - 3 0 х

Вычисление площади трапеции с использованием формул из раздела «Геометрия»

• Задача №1.

• Задача №2.

Вычисление площадей фигур с помощью интегралов

Постановка проблемы (обобщение )

Проблема: Как с помощью интеграла вычислить площадь фигуры, не являющейся криволинейной трапецией?

Задачи на вычисление площадей фигур с помощью интеграла можно классифицировать по виду геометрических фигур, площади которых необходимо вычислить

Решение проблемы

Классификация задач

• Фигура, полученная отсечением от криволинейной трапеции прямоугольника
• Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x)≤0 на [a;b]
• Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций y=f(x), y=g(x), f(x)≥g(x) ≥0 и прямыми x=a, x=b
• Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций, заданных различными формулами на различных промежутках

Y=f(x)

Y=g(x)

Алгоритм нахождения площади фигуры

Задача : Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=f(x) и y=g(x).

1. Строим (точно) график данных функций.

2. Найдём абсциссы точек их пересечения (границы интегрирования) из уравнения: f(x)=g(x).

Решаем его, находим x 1 =a, x 2 =b .

3. Выделяем свою фигуру. Выясняем, является ли данная фигура криволинейной трапецией.

4. Ищем площадь данной фигуры:

Площадь криволинейной трапеции находим по формуле Ньютона-Лейбница:

где F(x) – первообразная для f(x).

y

B

n

A

C

x

a

b

Задача №1.

Задача 1:

Задача №2.

Задача 3:

Задача 3:

Задача

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y

x

1. Найдём пределы интегрирования:

2. Данная фигура не является криволинейной трапецией, следовательно, искомую площадь можно получить как разность площадей прямоугольника АBCO и криволинейной трапеции АОCBD.

Самостоятельная работа

Вариант №1 Вариант №2

Вычислите:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла

Футбол

Устный счёт

Вычислите

Гол!!!

Вычислите

Гол!!!

Определите площадь фигуры, ограниченной линиями

Гол!!!

Молодцы!

1612 год был для жителей австрийского города Линц, где жил тогда известный астроном Иоганн Кеплер очень урожайным, особенно на виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определить их объёмы. 

Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления. Математика переменных величии заняла с этого времени ведущее место в системе математических знаний.

Вычисление объемов.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

Объем тела вращения вычисляется по одной из формул :

1. , если вращение криволинейной трапеции  вокруг оси ОХ ( рис. 1) .

2.   , если вращение криволинейной трапеции  вокруг оси ОУ ( рис. 2) .

Объём тела, полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b]: