Пирамида и ее элементы

Пирамида

Формулы площади треугольника

• 1) S=1/2 ah,
• 2) S=1/2 ab sinγ
• 3) Формула Герона

S=√p(p-a)(p-b)(p-c),

где p=(a+b+c)/2

4) Площадь прямоугольного треугольника

S=1/2 ab, где a и b - катеты

c

b

h

γ

a

a

b

Радиусы

• Вписанной окружности
• r=2S/(a+b+c)
• Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис

• Описанной окружности
• R=abc/4S
• Центр окружности описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон

c

a

c

r

a

R

b

b

S-площадь

треугольника

Равнобедренный треугольник

• АВ=АС
• ВС-основание
• Углы при основании равны. L В= L С.
• АМ - медиана, биссектриса, высота

А

М

В

С

Чему равны углы

при основании

равнобедренного

прямоугольного

треугольника ?

Пирамида

• Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника - основания пирамиды , точки, не лежащей в плоскости основания,- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

ВЕРШИНА

ВЫСОТА

ОСНОВАНИЕ

БОКОВАЯ ГРАНЬ

БОКОВОЕ РЕБРО

Задача №1: Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60 0 . Найдите высоту пирамиды

• Ход решения:
• 1) SO-высота. В какие фигуры входит высота?
• 2) Какие между собой эти треугольники?
• 3) Чем являются отрезки DO=NO=MO в ∆АВС?
• 4) Найдите площадь ∆АВС и гипотенузу.
• 5) Найдите радиус вписанной окружности.
• 6) Зная в ∆DOS сторону DO и
• L SDO= 60 0 найдите SO:
• tg SDO=SO/DO, tg 60 0 = √3
• SO=DO tg 60 0

S

С

N

D

O

M

В

А

Площадь поверхности и объем пирамиды

• Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней
• Полной поверхностью пирамиды называется сумма площадей основания пирамиды и боковой поверхности пирамиды.
• S полн =S осн +S бок
• Объем пирамиды
• V=1/3S осн h

Задача №2: Основание пирамиды - равнобедренный треугольник со сторонами 40см, 25см и 25см. Ее высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40см, и равна 8см. Найдите полную поверхность пирамиды.

• Ход решения:
• 1) Запишите формулу полной поверхности
• 2) Найдите площадь основания.
• 3) Из чего состоит площадь боковой поверхности?
• 4) Найдите площадь ∆АДС и ∆АДВ
• 5) Выберите формулу для нахождения площади ∆ДВС и найдите недостающие элементы.
• 6) Вычислите боковую и полную поверхность пирамиды.

Д

В

А

С

Назовите элементы пирамиды и продолжите формулы

• S полн =

• V=