План-конспект открытого урока по теме: "Векторы в пространстве"

6

Конспект открытого урока по теме: «Векторы в пространстве»

Целью занятия для преподавателя выступила следующая: обучающиеся знают и понимают определение вектора и других связанных с ним понятий, соответствующие формулы, умеют применять знания при решении практических задач.

Целью занятия для студента: определить место вектора, как понятия, в практической деятельности человека, изучить основные действия с векторами и научиться применять знания при решении задач.

В ходе урока решались следующие задачи:

Предметные: обосновать практическую значимость темы, провести исследование на основе имеющихся знаний, раскрыть графическую интерпретацию определений, подвести к необходимости использования формул для определения длины вектора, координат вектора, научить использовать формулы при решении практических задач.

Личностные: способствовать формированию представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах ма­тематики.

Метапредметные: способствовать развитию умения продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, расширить применение понятий о векторе в будущей специальности, расширить представления о культурных явлениях в математике.

Ход урока

Здравствуйте, коллеги, присутствующие на занятии. Здравствуйте, уважаемые студенты.

Проверка присутствующих.

Сейчас мы с Вами посмотрим мультфильм.

Просмотр видеоролика (басня «Лебедь, рак и щука»).

Скажите, лебедь, рак и щука взаимодействуют на плоскости или в пространстве?

Правильно, в пространстве. А как с точки зрения геометрии можно интерпретировать действия персонажей? Ответ: с помощью векторов.

СЛАЙД С ВЕКТОРАМИ ЛЕБЕДЬ…

И сегодня мы с Вами будем знакомиться с возможностью применения векторов в пространстве.

 Итак, тема сегодняшнего урока «Векторы в пространстве». (СЛАЙД)

ПОПРОСИТЬ 3 СТУДЕНТОВ РАЗДАТЬ ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ!!!!

Разделить студентов на группы:

1. Синий вектор

2. Красный вектор

3. Зеленый вектор

4. Черный вектор

5. Желтый вектор

Сегодня мы с ВАМИ будем работать по группам. За каждое правильно выполненное задание группы будут получать ……

КАК ВЫ СЧИТАЕТЕ, ЗАЧЕМ НАМ НЕОБХОДИМО ИЗУЧАТЬ ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ?

ОТВЕТ: ЧТОБЫ НАУЧИТЬСЯ ВЫПОЛНЯТЬ ДЕЙСТВИЕ С ВЕКТОРАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ПРАВИЛЬНО. ЗНАЧИТ, ЦЕЛЬЮ СЕГОДНЯШНЕГО УРОКА ЯВЛЯЕТСЯ СЛАЙД РАСКРЫТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ПОНЯТИЯ И ДЕЙСТВИЯ

В СООТВЕТСТВИИ С ЦЕЛЬЮ ЗАНЯТИЯ ОПРЕДЕЛИМ ЕГО ЗАДАЧИ: СЛАЙД

1. Ввести понятие вектора в пространстве

2. Изучить порядок определения координат вектора в пространстве

3. Раскрыть способ определения длины вектора в пространстве

4. Рассмотреть действия с векторами в пространстве

СЕГОДНЯ МЫ с вами должны вспомнить ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ вектора на плоскости.

Для того, что повторить понятие вектора, заполним ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ. На 1 ЛИСТЕ в центре имеется слово «вектор». Вам необходимо написать вокруг касающиеся этого слова понятия, определения, формулы, символы и т.д.

Студенты заполняют ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ. (2-3 минуты)

К ОПОРНОМУ КОНСПЕКТУ мы БУДЕМ ОБРАЩАТЬСЯ НА ПРОТЯЖЕНИИ ВСЕГО занятия.

Кто же придумал понятие вектор? Более подробно, на этот вопрос нам ответит КАНДИДАТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК, ДОЦЕНТ Иванов Иван Иванович

Доклад студента: Вектор относительно новое математическое понятие. СЛАЙД Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл СЛАЙД немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком ОГЮСТЕНОМ Коши. (Слайд)

Мы изучали понятие вектора на плоскости. Скажите, а что такое вектор? (Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором. (НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК))

СЛАЙД

ПРАВИЛЬНО. ЭТО ЖЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АКТУАЛЬНО И ДЛЯ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ.

А КАКОЙ ВЕКТОР МЫ НАЗЫВАЛИ НУЛЕВЫМ? Любая точка ПЛОСКОСТИ также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым

СЛАЙД

ВЕРНО. В ПРОСТРАНСТВЕ НИЧЕГО НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ И Любая точка пространства также может рассматриваться как НУЛЕВОЙ ВЕКТОР

С понятием «вектор» вам приходилось встречаться очень часто. Где?

Ответы студентов….

Все правильно, но вопросом «векторы вокруг нас» заинтересовался ДОКТОР ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК, ПРОФЕССОР Петров Петр Петрович Он представит свой доклад на эту тему.

Доклад студента: Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. СЛАЙД Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Нередко даже великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. СЛАЙД Вообще-то, под понятие «вектор» можно подвести любое явление. Вектор (в генетике) — молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке. Все больше обретает популярность такое необычное направление, как системно-векторная психология, в ней существует 8 векторов. СЛАЙД И, даже в простейших предписывающих знаках дорожного движения, мы видим указательные стрелки движения – векторы. СЛАЙД Эти векторы указывают нам направления движения, стороны движения, стороны объезда, и ещё многое другое. СЛАЙД И В МОЕЙ БУДУЩЕЙ ПРОФЕССИИ ВЕКТОРЫ ИГРАЮТ ВАЖНУЮ РОЛЬ. ВСЕ СХЕМЫ ПОЖАРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ СОСТАВЛЕНЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ ВЕКТОРА!!!

СПАСИБО. МЫ выяснили, что векторы окружают нас повсюду.

Давайте вспомним, СЛАЙД ЧТО ТАКОЕ ДЛИНА ВЕКТОРА Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ

И каким образом обозначается вектор? (Либо большими, либо прописными латинскими буквами) СЛАЙД

• ЧЕМУ РАВНА ДЛИНА НУЛЕВОГО ВЕКТОРА? Длина нулевого вектора считается равной нулю СЛАЙД

Как называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых? (Коллинеарные) СЛАЙД

Итак, мы определили, что вектор – это направленный отрезок, а если у нас имеется два вектора, как могут быть направлены эти векторы? (Сонаправленными,

СЛАЙД

противоположно-направленными) СЛАЙД

НУЛЕВОЙ ВЕКТОР ЯВЛЯЕТСЯ СОНАПРАВЛЕННЫМ, ИЛИ ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫМ? Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором.

ВСЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, КОТОРЫЕ ВЫ ЗНАЕТЕ, ПРИМЕНИМЫ И ДЛЯ ВЕКТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ.

НА ПРОШЛОМ ЗАНЯТИИ МЫ С ВАМИ ВВЕЛИ ПОНЯТИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДАВАЙТЕ ВСПОМНИМ, В чем отличие системы координат в пространстве и на плоскости? СЛАЙД

Ответ: вводится новая ось – аппликат (ось оz). И каждой точке пространства сопоставляется только одна тройка чисел, которые называют её координатами.

Да, действительно, для определения координат точки добавляется третье число, и мы понимаем, что точка в пространстве, а не на плоскости

ДАВАЙТЕ ПОДУМАЕМ, как будут отличаться координаты вектора в пространстве по сравнению с координатами вектора на плоскости?

ДА, ДЕЙСТВИТЕЛЬНО, Добавляется третья коодината (САМА ЗАПИСЫВАЮ НА ДОСКЕ ТРЕТЬЮ КООРДИНАТУ) ДЛЯ КАКОГО-ТО ВЕКТОРА.

ДАВАЙТЕ ВСПОМНИМ, Как определить координаты вектора НА ПЛОСКОСТИ, если известны координаты начала и конца ВЕКТОРА? ВЫЗВАТЬ К ДОСКЕ, ЧТОБЫ НАПИСАЛИ ФОРМУЛУ (Из координат конца вектора вычесть координаты начала)

На доске записана формула для определения координат вектора по двум точкам. Давайте подумаем, что изменится в формуле, если точки и векторы будут в пространстве? Да, правильно, добавляется координата z и формула примет вид: СЛАЙД

Записываем ФОРМУЛУ В ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ (ЗАПИСЬ 1): если даны точки А с координатами (х1,у1,z1) и В с координатами (х2,у2,z2), то координаты вектора АВ БУДУТ: (ЗАПИСЫВАЕМ ТОЛЬКО ФОРМУЛУ)

АВ= (Х2-Х1, ….)

НАМ НЕОБХОДИМО РЕШИТЬ ЗАДАЧУ 1. Задача записана в опорных конспектах. Каждая группа решает свою часть задачи. Как только решение будет готова, командир группы поднимает вектор.

РЕШЕНИЕ ЗАПИСЫВАЕМ В ОПОРНЫХ КОНСПЕКТАХ.

А теперь проверяем. Первая группа. Огласите решение.

А что получилось у ….

Далее записываем в опорных конспектах определение, которое нам будет необходимо для дальнейшей работы. СЛАЙД

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

ДАВАЙТЕ ВСПОМНИМ, ПО КАКИМ ПРАВИЛАМ ПРОИСХОДИТ СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ? (слайд) ПРАВИЛЬНО, ПО ПРАВИЛАМ ТРЕУГОЛЬНИКА И ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

(СЛАЙД) В ПРОСТРАНСТВЕ ДОБАВЛЯЕТСЯ ТРЕТЬЯ КООРДИНАТА И ФИГУРА ДОСТРАИВАЕТСЯ ДО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. КАК ВЫ ДУМАЕТЕ, КАКИМ ПРАВИЛОМ БУДЕМ РУКОВОДСТВОВАТЬСЯ ПРИ СЛОЖЕНИИ ВЕКТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ?

ПРАВИЛЬНО, ПРАВИЛОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА.

ЗАПИСЫВАЕМ. Пусть а, b, с – некомпланарные векторы. Отложим от произвольной точки О пространства векторы ОА=а, ОВ=b, ОC=с и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были его ребрами. Тогда диагональ ОD этого параллелепипеда изображает сумму векторов а, b и с : ОD = а + b + с.

Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора пространства  . Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты:   . Все просто. Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов.

Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор   умножить на число  , необходимо каждую координату данного вектора умножить на число  :

А ТЕПЕРЬ ПОДУМАЕМ, КАК ОПЕДЕЛИТЬ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА, ЕСЛИ ПРОИЗВОДЯТ НЕСКОЛЬКО ДЕЙСТВИЙ С ВЕКТОРАМИ.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ НА СЛАЙД.

ДАНЫ ВЕКТОРЫ

a (4, 2, 0),

b (0, 3, 1),

НАЙТИ ВЕКТОР

с = 2a+b

МОЛОДЦЫ!

А ТЕПЕРЬ ВСПОМНИМ, КАК ВЫЧИСЛИТЬ ДЛИНУ ВЕКТОРА?

ДЛИНУ ВЕКТОРА МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ ПО КООРДИНАТАМ ВЕКТОРА И ПО КООРДИНАТАМ 2 ТОЧЕК. К ДОСКЕ ПОЙДЕТ…..

ЗАПИСЫВАЮТ У ДОСКИ ФОРМУЛЫ.

ПРАВИЛЬНО. ЭТО ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛИНЫ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТИ. ДАВАЙТЕ ПОДУМАЕМ, ЧТО ИЗМЕНИТСЯ В ФОРМУЛАХ, ЕСЛИ ВЕКТОРЫ БУДУТ В ПРОСТРАНСТВЕ?

СНАЧАЛА ПОПРОБУЕМ СОСТАВИТЬ ФОРМУЛУ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛИНЫ ВЕКТОРА ПО ЕГО КООРДИНАТАМ. СЛАЙД. ЗАПИШИТЕ ФОРМУЛУ В ВАШИ ОППОРНЫЕ КОНСПЕКТЫ

А ТЕПЕРЬ ПО ДВУМ ТОЧКАМ ОПРЕДЕЛИТЬ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ НИМИ. СЛАЙД. ЗАПИШИТЕ ФОРМУЛУ В ВАШИ ОППОРНЫЕ КОНСПЕКТЫ

ДАВАЙТЕ НАЙДЕМ ДЛИНУ ВЕКТОРА АВ ВМЕСТЕ ДВУМЯ СПОСОБАМИ.

ЗАДАЧА ПРИВЕДЕНА НА СЛАЙДЕ И В ВАШИХ ОПОРНЫХ КОНСПЕКТАХ.

А ТЕПЕРЬ 2 МИНУТЫ ВАМ НА САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ СЛЕДУЮЩЕЙ ЗАДАЧИ. КАК ТОЛЬКО КАКАЯ-ТО ГРУППА ОПРЕДЕЛИТ ДЛИНУ ВЕКТОРА 2-МЯ СПОСОБАМИ, ПОДНИМАЙТЕ ЦВЕТНОЙ ВЕКТОР.

ЗАДАЧА

Найдите длину вектора АВ

A(-35;-17;20) и B(-34;-5;8)

ОТВЕТ 17.

Следующее задание «Выбери сам» я хочу начать притчей «Однажды молодой человек пришел к мудрецу. «Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь». Но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», - ответил юноша. Мудрец сказал: «Произнеси это 5 раз». «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз. «Вот видишь, - сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо… Надо протянуть руку и взять ложку». Вот и вам необходимо сейчас вспомнить основные моменты сегодняшнего занятия и выбрать задание. Задания двух уровней: карточки зелёного цвета – задания базового уровня, красного – повышенного уровня.

1. Задание базовой сложности (зелёные карточки):

Даны точки  ,    НАЙТИ ДЛИНУ ВЕКТОРА ЛЮБЫМ СПОСОБОМ

2. Задание повышенной сложности (красные карточки):

Даны точки  ,    . НАЙТИ ДЛИНУ ВЕКТОРА ДВУМЯ СПОСОБАМИ

НА ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ У ВАС 3 МИНУТЫ. РЕШЕНИЕ ЗАПИСЫВАЕМ НА САМИХ КАРТОЧКАХ. НЕ ЗАБУДЬТЕ ПОДПИСАТЬ КАРТОЧКИ.

3 МИНУТКИ ИСТЕКЛИ. ПОМЕНЯЙТЕСЬ КАРТОЧКАМИ И ОЦЕНИТЕ ПРАВИЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВАШИМИ ТОВАРИЩАМИ. НА ЭТО У ВАС ЕСТЬ ОДНА МИНУТА. ПОСТАВЬТЕ ОЦЕНКУ ЗА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ И СДАЙТЕ КАРТОЧКИ (ПОПРОСИТЬ ПОМОЧЬ СОБРАТЬ КАРТОЧКИ КОГО-ТО ИЗ СТУДЕНТОВ!!!!!!!!!)

Итоги урока.

1. Заполнение ОПОРНОГО КОНСПЕКТА. ВЕРНИТЕСЬ К ОПОРНОМУ КОНСПЕКТУ И Другим цветом ВАМ необходимо дописать, что нового вы узнали.

2. Оценка деятельности обучающихся.

 Ребята, вы сегодня хорошо поработали. Предлагаю подумать минуту и оценить своих ОДНОГРУППНИКОВ

По желанию обучающиеся комментируют оценки за урок.

Домашнее задание. СЛАЙД

Продолжите предложения: СЛАЙД

1. Сегодня на уроке мне понравилось …

2. Сегодня на уроке я узнал …

3. Сегодня на уроке вызвало затруднение …

4. Если бы я был преподавателем, то бы я сделал …

Урок окончен. Всего доброго! До свидания!