План-конспект по теме: "Дифференциальные уравнения"

План-конспект

Тема урока: Дифференциальные уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный.

Цели урока:

- помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

- помочь овладеть методами решения ДУ;

- отработать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка;

- развить логическое мышление учеников;

- развивать творческие способности студентов:

- побудить интерес к изучаемому предмету.

Задачи урока

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Средства обучения:

1. дидактический материал;

2. проектор;

3. презентация.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Коррекция пройденного материала.

3. Актуализация знаний.

4. Объяснение нового материала.

5. Закрепление изученного материала.

6. Информация о домашнем задании.

7. Подведение итогов.

Ход урока:

1.Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих. Отметить дежурных. Объявить тему урока и его цель.

2.Коррекция пройденного материала: на предыдущем занятии вы выполняли самостоятельную работу. Анализируя ваши работы, были выделены следующие типичные ошибки (показать на доске правильное выполнение). В итоге получены следующие результаты (объявить оценки за самостоятельную работу).

3. Актуализация знаний:

1. Выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(3х)^'=… (х³)^'=… (6х²)^'=… (х+5)^'=… (5х-4)^'=… (2sinx)^'=… (е^2х)^'=…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

У=3х+4

У=6-7х

в) Чему равен угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке х₀? (ответ: производной функции при х₀)

г) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции. (Ответ: dF=F^'dx).

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? (интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а) (Ответ: I=2x+lnx+С); б) ; (Ответ: I=ln(x+2)+C);

в) (Ответ: ).

На слайдах показать графики решений данных неопределенных интегралов.

4.Объяснение нового материала:

Мотивация: «Великая книга природы написана на языке дифференциальных уравнений».

Смысл этой аллегории таков: математикам кажется, что законы природы во многих случаях удобно описывать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Сущность этих законов подчас раскрывается в результате решения ДУ.

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783) - гениальный математик, механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии, на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович (так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем. Неутолимо вычисляя при свеча, он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Теперь мы переходим к теории.

Определение 1: Дифференциальным уравнением называют уравнение , связывающее независимые переменные, их функцию и производные

( или дифференциалы) этой функции.

Определение 2: Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше , то уравнение называется в частных производных.

Определение 3: Наивысший порядок производной , входящей в уравнение , называют порядком дифференциального уравнения.

Примеры:

ху^'+у=0- обыкновенное диф. уравнение первого прядка.

- обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.

у^'''-2у=х - обыкновенное диф. уравнение третьего порядка.

Определение 4: Процесс решения ДУ называется интегрирование.

Определение 5: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение 6: Общим решением ДУ называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Так, общее решение ДУ первого порядка содержит одну произвольную.

Общему решению ДУ соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения ДУ называется интегральной кривой.

Определение 8: Задача, в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х₀)=у₀, называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик).

В ходе записывания теории разбирается пример: ,

, - общее решение

При х= 2, у=5, тогда 5= , 5= 4+с, получим с= 1, следовательно, - частное решение.

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: ДУ с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Для решения этого уравнения необходимо:

1. разделить сначала переменные;

2. проинтегрировать обе части полученного равенства.

Рассмотрим пример:

1)

Общее решение.

2) ,

, ,

,

-общее решение

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С²/(-3), тогда С²=9.

Частное решение имеет вид: .

3)

5.Закрепление:

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

1. у^'=4х³.Найти общее решение. (Ответ: у=х⁴+С)

2. (Ответ: )

Найти частные решения ДУ:

1. , при х= , у=3(ответ: y=tgx+2)

2. , при х=0, у=1 ( ответ: )

3. , ,

общее решение.

1. Найти частное решение ДУ .

общее решение.

тогда у=2sinx-1- частное решение.

Дополнительно:

1. , при х=π, у=0 . Ответ:

2. Ответ: у=х²+4

3. ,х=2,у=-4. ответ:

Задание на дом:

Решить уравнения:1.

2.

3.

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую, проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.