План-конспект урока по алгебре на тему: "Первообразная"

Урок алгебры в 11 классе по теме "Первообразная"

Тип урока: изучение нового материала.

Цели и задачи урока

Цели:

• повторить понятие производной функции, ее физический смысл, основные формулы дифференцирования; ввести понятие первообразной функции, научить учащихся определять является ли функция F(x) первообразной для функции f(x).

• Способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.

• Побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

• Задачи

а)Обучающая - на основе имеющихся у учащихся знаний по теме: «Производная» подвести учащихся к понятию первообразной, определить вместе с ними это понятие;

б) развивающая - формирование приемов обобщения, алгоритмизации;

в) воспитывающая - воспитывать умение участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнении, показ практической применимости математических знаний.

План урока
1. Организационный момент
2. Актуализация прежних знаний
а) фронтальный опрос (по формулам и правилам)
б) вычисление производных (устно)
3. Объяснение нового материала.
4. Первичное закрепление
5. Историческая справка
6. Итог урока
7. Домашнее задание

Ход урока

1.Организационный момент (сообщение темы и цели урока).

2.Актуализация знаний

1) Опорные знания: производная, таблица производных, физический смысл производной.

2) Связь с прошлой темой: на уроке используются таблицы производной, вычисляются производные функций.

Задание классу:

1. Вычислить производные следующих функций:

(1)^/ = ((2х-3)⁶)^/=

(х)^/ = ((х⁵+20))^/=

(30х)^/= (Соs 3х)^/=

(х³)^/= ( 5х¹⁰)^/=

1. Назвать физический смысл производной.

3.Изучение нового материала (Формирование новых понятий и способов действий)

Создание проблемной ситуации.

Задача: При обработке на станке деталь нагреть до 120⁰. Измерения полагается производить при 20⁰. Скорость охлаждения детали пропорциональна разности температур детали и воздуха в цехе. Сколько же нужно ждать?

Здесь T(t) – температура детали, T^/(t) = k(T-18⁰)^/- скорость её охлаждения.

Ставится вопрос: зная производную некоторой функции, мы должны найти саму функцию. Как это сделать?

Учащиеся выполняют задания: заполнить пропущенные места в скобках

(…)^/ = 2х (…)^/ = 0

(…)^/ = 4х³ (…)^/ = 25

Как можно иначе сформулировать это задание (найти саму функцию, зная её производную; восстановить функцию по производной)?

Восстанавливаемая функция называется первообразной. Дайте определение первообразной функции.

Помощь учителя: если мы обозначим саму функцию через f(x), а её первообразную через F(x) , то куда поставить штрих в равенстве F=f? Или: как проверить, что некоторая функция F(x) является первообразной для f(x)?

Учащиеся обсуждают и дают определение первообразной.

На доске записи:

Производная – «производит» на свет новую функцию, первообразная - первичный образ.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) , если F^/(x) = f(x) на заданном промежутке.

4. Закрепление нового материала ( Применение знаний и новых способов действий в ситуациях по образцу и в измененных условиях)

1) С целью закрепления определения первообразной выполнить следующие задания:

а) Проверить, что функция F(x) есть первообразная для f(x):

1) F(x) = x³-2x+1 f(x)=3x²-2

2) F(x)= x⁴-7 f(x)=4x³

3) F(x)=10 f(x)=0

4) F(x)= f(x)=1/2 x€]0;+ [

5) F(x) =10x¹⁰ f(x)=200x¹⁹

б) Найти первообразную для функции f(x):

1) f(x)= x³

2) f(x) = x²

3) f(x) = x

2). После решения второго задания появляется необходимость как-то упорядочить процесс нахождения первообразной; с этой целью учащиеся формулируют алгоритм:

1. Подобрать функцию F(x)

2. Найти её первообразную F^/(x)

3. Сравнить полученную производную F^/(x) с данной функцией f(x)

4. Если они совпадают, то задача решена, если нет, то вернуться к пункту 1).

Задание: Первообразные для следующих функций находим, пользуясь данным алгоритмом.

1. f(x) = 1

2. f(x) = x³

3. f(x) = 0,25

4. f(x) = 5x

5. f(x) = 6/x

6. f(x) = 7x⁸

7. f(x) = 14x¹⁰

8. f(x) = 20x³

6. Историческая справка.
Математический анализ имеет две главные составляющие его части: дифференциальное и интегральное исчисления. С элементами дифференциального исчисления мы познакомились в 10-м классе, впереди – изучение интегралов.
«Интеграл»- «интегрирование» - «интеграция»… Однокоренные слова, вышедшие за пределы математики и ставшие почти «обиходными». Пожалуй, нет другого математического термина, который использовался бы в обычной жизни так же часто, как термин «интеграл». Музыкальная группа «Интеграл», кафе «Под интегралом», банк «Интеграл-капитал», а слова «интегрирование» и «интеграция» встречаются на каждом шагу. В газетах мы читаем об интеграции наук, культур, интеграции экономики, политики также ведут речь об интеграционных процессах. Почему? Ведь есть масса других красивых математических слов: экспонента, логарифм, синус — звучит ничуть не хуже.

Возможно, здесь играет свою роль красивый знак интеграла или понятный смысл слова: восстановление, целостность, суммирование.

А быть может, привлекает некая таинственность интеграла? Непонятно, почему один и тот же математический инструмент позволяет находить и площади фигур, и формулу скорости по известной формуле ускорения. Почему операция, обратная дифференцированию, оказывается как-то связанной, скажем, с объёмами тел вращения? Конечно, доказаны все необходимые теоремы, но эта эффективность интеграла всё равно завораживает.

7. Итог урока. Рефлексия

Итог урока. «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию». Ян Амос Коменский

1) С какой операцией, обратной дифференцированию, познакомились;

2) вспоминаем определение первообразной.

Итак, дифференцировать – значит «разделять» процесс, например, находить его мгновенную скорость в каждой отдельно взятой точке; интегрировать – значит «соединять», суммировать бесконечно малые части искомого целого.
Таким образом, операции дифференцирования («разделения») и интегрирования («суммирования») оказываются взаимно обратными (как, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня).
Инструментом для вычисления интегралов служит понятие первообразной функции. Операция нахождения первообразной является обратной по отношению к операции дифференцирования функции.
Овладев понятием первообразной функции, а затем и интеграла, мы сможем решать самые разнообразные алгебраические, геометрические и физические задачи.

Рефлексия. 

8. Домашнее задание.

1.Прочитать объяснительный текст глава 4 параграф 20, выучить наизусть определение 1. первообразной;

2.Решить № 20.1 -20.5 (в, г) - обязательное задание для всех;

№ 20.6 (б), 20.7 (в, г), 20.8 (б), 20.9 (б)- 4 примера по выбору.