План-конспект. «Синус и косинус угла». 10 класс

Алгебра, 10-А класс. Урок № 50. Дата:_____________

Тема урока: «Синус и косинус угла» 
Цель урока: 
Образовательная:

Ввести для учащихся понятия синуса и косинуса угла t; научить их решать простейшие тригонометрические уравнения с использованием данных понятий.

Задачи:

• показать важность и необходимость изучения данной темы для учащихся;

• дать учащимся определение понятий косинус угла t и синуса угла t;

• познакомить учащихся с таблицей знаков sin t и cos t по четвертям числовой окружности;

• ввести для учащихся основное тригонометрическое тождество;

• повторение ранее изученного материала;

• ввести таблицу часто встречаемых значений sin t и cos t;

• разобрать с учащимися простейшие примеры решения тригонометрических уравнений;

• познакомить учащихся со свойствами sin t и cos t.

Развивающая: 
Способствовать развитию наблюдательности, логического мышления, памяти, внимания учащихся, их интереса к изучению предмета
Воспитательная: 
Воспитать у учащихся дисциплинированности на уроке, аккуратности, трудолюбия, способствовать формированию аргументировано отстаивать свою точку зрения, умение выслушать других
Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: индуктивно- репродуктивный

Оборудование: ПК; мультимедийный проектор; интерактивная доска; презентация на тему «Синус и косинус угла»

Ход урока

1. Организационный момент включает в себя:
Приветствие учителем учащихся, проверка отсутствующих, готовности помещения к уроку.
2. Актуализация знаний.
Учитель: Ранее нами была изучена тема «Числовая окружность на координатной плоскости». Давайте вспомним основные вопросы из предыдущей темы. Для этого ответьте на следующие вопросы:

чему равно число π в градусной мере?

Ученик: Градусная мера числа π равна 180 градусам.

Учитель: Чему равны координаты числа π/4?

Ученик: Координаты числа π/4 равны (

Учитель: Чему равны координаты точки π?

Ученик: Координаты числа π равны (-1;0)

Учитель: Чему равны координаты числа 7π/6?

Ученик: Координаты числа 7π/6 равны (

Учитель: Чему равны координаты числа 5π/3?

Ученик: Координаты числа 5π/3 равны (

3. Изучение нового материала.

Учитель: Тема нашего сегодняшнего урока «Синус и косинус угла». На этом уроке мы с вами дадим определение косинуса и синуса угла t, научимся решать простейшие тригонометрические уравнения,. которые могут вам пригодиться в дальнейшем при изучении тригонометрических функции, решение сложных тригонометрических уравнений, при решении задач в ЕГЭ, а так же это пригодится тем кто пойдет в ВУЗ на экономическую, педагогическую, строительную специальности.
А теперь откроем тетради, запишем число, классная работа, и тему нашего сегодняшнего урока «Синус и косинус». 
Учитель:

В курсе геометрии были введены понятия синуса и косинуса угла, выраженного в градусах. Этот угол рассматривался в промежутке от 0° до 180°.

Рассмотрим единичную окружность на координатной плоскости. Выберем на ней произвольный угол t, которому будет соответствовать единственная точка на числовой окружности М с координатами (х; у). Координату х назовем косинусом угла t, а координату y назовем синусом угла t.

Учитель: Тогда синус и косинус произвольного угла определяется следующим образом:

Если точка М числовой окружности соответствует углу t, то абсциссу точки М называют косинусом угла t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом угла t и обозначают sin t.

Кстати что такое координатная плоскость?

Ученик: Это плоскость, на которой выбрана система координат.

Учитель: Рассмотрим конкретный пример. Давайте найдем координаты точки М если она будет равна . По только что данному определению мы теперь знаем, что косинус угла это абсцисса этой точки, а синус угла это ордината точки.

Какие координаты будут у этой точки?

Ученик: Координаты этой точки будут равны (

Учитель: Тогда чему будет равен косинус этого угла? Не забываем что косинус угла t это абсцисса точки.

Ученик: Если косинус угла t это абсцисса, то тогда он будет равен

Учитель: А чему будет равен синус угла?

Ученик: Если синус угла t это ордината, то тогда он будет равен

Учитель: На предыдущем уроке мы так же отметили что для любой точки M(x;y) числовой окружности выполняются неравенства ; . Отсюда мы получаем, что

Что бы знать знаки синуса угла t и косинуса угла t, которые нам понадобятся в дальнейшем при решении задач, давайте составим следующую таблицу.

Учитель: Если точка лежит в первой четверти, то по рисунку мы видим что координаты , а мы теперь знаем, что x это COS t,а y это SIN t, тогда значит, что .

Учитель: Если точка лежит во второй четверти, то по рисунку видим что , тогда

Учитель: Если точка лежит в третьей четверти, то по рисунку видно, что , значит

Учитель: И в четвертой четверти мы получаем, что .

Учитель: Как выглядит уравнение числовой окружности?

Ученик: Уравнение числовой окружности имеет вид

Учитель: А так же мы знаем, что x=cos t;y=sin t значит это основное тригонометрическое тождество.

На предыдущем уроке мы заостряли внимание на том, как важно научиться отыскивать координаты некоторых точек числовой окружности. А так как мы теперь знаем что x это cos t, а y это sin t, то мы можем составить таблицу часто встречаемых значений sin t и cos t.

(На слайде выводится таблица, которую предстоит заполнить)

Учитель: Мы теперь с вами знаем, что косинус угла это абсцисса, а синус угла это ордината, тогда чему будут равны синус 0° и косинус 0°?

Ученик: Синус 0° будет равен 0, а косинус 0° будет равен 1.

(Далее таблица заполняется аналогично)

Учитель: Теперь давайте рассмотрим свойства синуса и косинуса угла:

Свойство 1: Для любого угла t справедливы равенства:

Построим точку М которая будет соответствовать углу t на числовой окружности, и точку Р которой будет соответствовать угол (-t) на числовой окружности, точка Р симметрична точке М относительно оси абсцисс. У этих точек одна абсцисса, а это значит что .И у таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты, что говорит о том что

Учитель: Давайте рассмотрим пример, надо вычислить

По только что изученному нам свойству, знак минус у аргумента синуса мы можем вынести вперед, и получаем что ,а мы знаем, что равен ½, а так как еще перед функцией стоит знак минус, то мы получаем, что

Запись на доске в тетради:

Учитель: Свойство 2: Для любого угла t справедливы равенства:

Это очевидно, поскольку числам t и t+2πk соответствует одна и та же точка числовой окружности.

Учитель: Свойство 3: Для любого угла t справедливы равенства:

Учитель: Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу t+π соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности – начала координат. У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. А это значит, что

Учитель: Давайте рассмотрим пример:

Вычислить : мы можем расписать как , а по только что пройденному нами свойству мы можем отбросить π и поставить знак минус перед , а это табличное значение и он равен , а так как у нас стоит еще и минус то

Запись на доске в тетради:

4. Закрепление первичного материала
Учитель: А теперь давайте вычислим cos t;sin t если:

Ученик:

мы можем записать как , а 2π, а по только что изученным нам свойствам мы может отбросить, тогда мы получаем , а это уже табличное значение которое равно

Аналогично с синусом угла, мы можем отбросить 2π и получаем, что , а это табличное значение которое равно ½

Запись на доске и в тетради:
=, =
(Следующий пример решается аналогично.)

Запись на доске и в тетради:

=

=

Учитель: решить уравнение =

Используем числовую окружность. Где наш синус угла принимает значение 0?

Ученик: Синус угла принимает значение 0 в углах 0° и π.

Учитель: А как мы можем записать их в виде формул?

Ученик: Для первого угла формула будет выглядеть следующим образом t₁=0 + 2πk и для второго угла такая t₂=π+2πk.

Учитель: А мы можем объединить эти решения? Ученик: Да можем

Учитель: Тогда что мы получим? Ученик: k Z

Запись на доске и в тетради:

=

t₁=0 + 2πk ; t₂=π+2πk.

k Z

Учитель: решить уравнения =

Запись на доске в тетради:

=

, k Z

Учитель: Следующий номер. Для решения этого номера нам понадобятся свойства синуса и косинуса, которые мы с вами изучили.

Ученик: Так как мы теперь знаем свойство, что знак у аргумента синуса выносится вперед, то мы можем записать, что . так и остается. А у косинуса только что по изученному свойству минус можно убрать, тогда . Тогда мы получаем следующее выражение +, а мы знаем что , , а , таким образом мы получаем

Запись на доске и в тетради:

+=

б)

5. Подведение итогов
Учитель: Что нового вы сегодня узнали? 
Ученик: Сегодня мы узнали, как можно определить косинус и синус с помощью числовой окружности. Так же мы узнали как решать простейшие тригонометрические уравнения.

6.Домашнее задание
Учитель: Теперь запишите домашнее задание. П. 7.3 – выучить знаки и значения синуса и косинуса угла, и №№7.32, 7.47. Спасибо, можете быть свободны.