План-конспект урока алгебры в 8 классе «Определение степени с целым отрицательным показателем» (УМК А.Г.Мордковича)

План-конспект урока алгебры

в 8 классе «Определение степени с целым

отрицательным показателем»

(УМК А.Г.Мордковича)

Цель урока. Создать условия для изучения понятия степени с целым показателем и научить применять это понятие при вычисле­ниях и преобразованиях.

Задачи урока:

1.Образовательные

Продолжить формирование общеучебных умений и навыков:

• умения планировать свою деятельность при решении задач;

• умения контролировать свою деятельность при решении задач;

• умения рассуждать, обобщать, делать выводы;

• умения выполнять задания вычислительного и аналитического характера на всех этапах урока;

• умения работать по образцу и в сходной ситуации при первичном закреплении.

Продолжить формирование специальных умений и навыков:

• умени работать с учебником при объяснении нового материала;

• умение проводить решения, пользуясь теоретическими сведениями.

П. Развивающие

• Продолжить развитие умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать изученные факты, выбирать рациональный способ решения.

• Продолжить развитие логического мышления.

• Развивать познавательный интерес учащихся к предмету.

Ш. Воспитательные

• Воспитывать волю, умение доводить начатое до конца, преодолевать трудности.

• Формировать самооценку знаний, критическое отношение к себе, творческую активность, аккуратность, дисциплину, внимание.

• Расширять представление об окружающем мире.

Ход урока

1. Вступительное слово учителя. Постановка цели урока.

В литературе нередко встречаются числа типа 1,674•10^-24. В чем смысл этой записи?

2. Актуализация знаний и способов действий при решении квадратных уравнений.

Устно

1. Вычислите: 3², 4², 5°; 0,01³,(-6)²,1²³, О⁶, 0°.

Комментарий учителя. А.С. Пушкин в романе "Евгений Онегин" очень интересно сказал об этих особенных числах:

Мы почитаем всех нулями, А единицами - себя.

2. Представьте число в виде произведения двух одинаковых множителей двумя способами: 25, 1/81, 1/25, 1/а².

3. Найдите число, обратное данному: 6, 1/7, 0, а², 1/x² (x≠0)/

4. Послушайте фрагмент из рассказа русской писатель­ницы-эмигрантки Тэффи "Блины".

"Но между нами был человек основательный, серь­езный - учитель математики. Он посмотрел строго на нас, строго на итальянцев и сказал отчетливо и внятно:

- Сейчас я возьму на себя честь объяснить вам, что такое блин. Для получения этого последнего берется окруж­ность в три вершка в диаметре. Пи-эр квадрат заполняет­ся массой из муки с молоком и дрожжами. Затем все это сооружение подвергается медленному действию огня, отделенного от него железной средой. Чтобы сделать вли­яние огня на пи-эр квадрат менее интенсивным, железная среда покрывается олеиновыми и стеариновыми кисло­тами, то есть так называемым маслом. Полученная пу­тем нагревания компактная тягуче-упругая смесь вводится затем через пищевод в организм человека, что в большом количестве вредно. Учитель замолчал и окинул всех тор­жествующим взглядом".

Как видите, литературе тоже не чужда математика.

Задание. Придумайте задачу, используя данные из этого рассказа. Найдите значение выражения 2πr² при г = 3, n=3.

Решение. S = З•З² = 27.

3.Формирование новых знаний и способов действий.

Объяснение нового материала

I. Объяснение нового материала.

Взгляните на число 10^-24. Как вы думаете, это поло­жительное или отрицательное число?

"Не верь глазам своим" - сказал бы Козьма Прутков тому, кто считает это число отрицательным. И сейчас мы разберемся, что вообще означает такая запись.

Задание. 1) Уловите закономерность и продолжите ряд чисел

...1000, 100, 10,...

(1, 1/10, 1/100, 1/1000...).

2) Представим каждое из этих чисел в виде сте­пени числа 10:

...1000,100,10, 1, 1/10, 1/100,1/1000...

... 10³, 10², 10¹, 10°, 1/10¹, 1/10², 1/10³...

3) Подпишем под этими числами показатели сте­пеней:

3, 2, 1, 0,....

Продолжив этот ряд, мы получим числа -1, -2, -3 и т.д.

Сравним показатели соседних степеней. Показатель каждой степени на 1 меньше следующего. Распространим этот закон на числа справа от 10°. Получим: 1/10¹ = 10^-1, 1/10² = 10^-2...

Получается такая строка:

10^-3, 10^-2, 10^-1, 10°, 10¹, 10², 10³...

Вопрос. Можем ли мы взять степень с другим основани­ем? С любым?

Ответ. Кроме 0.

Вывод. Итак, мы можем это соглашение распространить на любое число а, отличное от нуля. Запишите в тетради формулу:

aⁿ = l/a^-n, a≠O.

Вы узнали о том, что существуют степени с отрица­тельным показателем. Откройте учебники на с. 182 и про­читайте определение.

Историческая справка. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англича­нин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесо­образности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В од­ном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А², А³ и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а², 1/а³ пишу а^-1, а^-2, а^-3и т.д."

Вопрос. Имеет ли смысл выражение О^-5?

Ответ. Нет, т.к. основание степени с отрицательным показателем должно быть отлично от нуля.

Вывод. 0ⁿ имеет смысл только при положительных зна­чениях n.

///. Первичное усвоение новых знаний

Вопрос. Теперь вы знаете, что число 10^-24 является поло­жительным. А можно ли это число записать с положи­тельным показателем?

Ответ. Можно. Оно равно дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе - степень с тем же основанием, но с противоположным показателем. 10^-24= 1/10²⁴.

Таким образом, число 1,674•10^-24, о котором мы го­ворили в начале урока и которое выражает массу атома водорода, можно записать и по-другому.

Задание. Прочитайте об этом в учебнике на с. 182

Кому-то удобнее работать с отрицательными пока­зателями, а кому-то с дробями. Как говорят англичане, tastes differ (о вкусах не спорят). Попробуем применить эту формулу для замены степени дробью.

Первичное закрепление (решить на доске)

8-³ = 1/8³, (а + b)-², (ab)-³.

Самостоятельная работа с проверкой

Представьте степени в виде дробей с положительными показателями. Ответы впишите в таблицу.

2. А теперь научимся выполнять обратное действие: заменим дробь степенью:

дробь = степень

1/6⁷ = б^-7;

1/у⁷ = у^-7;

1/7 = 7^-1.

Самостоятельная работа с проверкой

1 вариант

1. 1/5⁸ 1 очко

2. 1/(b + с)¹⁰ 1 очко

3. 1/(х - у) 2 очка

1. 1/8⁵ 1 очко

1. 1/(b-с)⁹ 1 очко

2. 1/(х + у) 2 очка

3. Применение - формирование умений и навыков.

А сей­час займемся вычислениями:

4^-2= 1/4²= 1/16;

(2/3)^-3 = 1/(2/3)³ = (3/2)³ = 27/8 = 3 3/8;

0,01-² = (1/100)-²= 100²= 10000.

Самостоятельная работа с проверкой

1 вариант

1. З ^{- 2} 1 очко

2. (-1/4)^-3 1 очко

3. 0,001 ³ 2 очка

2 вариант

1. 2^-4 1 очко

2. (-1/6)^-2 1 очко

3. 0,0001^-2 2 очка

Задание. Подведите итог своей работы и поставьте сами себе оценки:

12-11 очков-"5",

10-9 очков-"4",

8-6 очков-"3".

Творческое задание. Решите математическую шифровку. В ней спрятан год рождения очень известного чело­века:

8° (1/7)^-1 (1/3)^-2 (1/9)^-1
1 7 9 9

Это год рождения А.С. Пушкина.

5. Итог урока

Домашнее задание: № 906 , № 909, № 922