План- конспект урока математики на тему "Первообразная"

Ход урока

Время (минута)

Действия преподавателя

Действия обучающихся

Учебные материалы и ресурсы

1

2

3

4

5

1. Организационный этап

3 мин

Приветствовать обучающихся, отметить отсутствующих.

Проверить подготовленность обучающихся к учебному занятию.

Приветствовать.

Подготовится к учебному занятию.

1. Проверка выполнения домашнего задания

25 мин

Ответы на вопросы по домашнему заданию(решение примеров)

Контроль усвоения материала. Контролбная работа модулья «Производные»

Ответить на вопросы

Показать д-е задание.

1. Подготовка обучающихся к работе на основном этапе

10 мин

Цели урока: Обучающая:  практическим путем вывести формулы производной показательной и логарифмической функций; проверка сформированности умений и навыков при решении примеров на их применение и исследовании функций, выявить и устранить пробелы в знаниях по данной теме;

Развивающие: - содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

Воспитывающая: воспитание дисциплины и норм поведения, творческого отношения к изучаемому предмету; стимулировать активность учащихся, повышать мотивацию к изучению математики. Тип урока: комбинированный, включающий освоение новых знаний.

Мобилизирующий момент: Мы умеем находить производные функций, используя различные формулы и правила. Сегодня мы будем изучать операцию, обратную вычислению производной. Понятие производной часто применяется в реальной жизни. Напомню: производная – это скорость изменения функции в конкретной точке. Процессы, связанные с движением и скоростью, хорошо описываются в этих терминах. Давайте рассмотрим вот такую задачу: "Скорость движения объекта, по прямой, описывается формулой V=gt. Требуется восстановить закон движения.
Решение.  Мы хорошо знаем формулу: S′=v(t), где S - закон движения.
Наша задача сводится к поиску функции  S=S(t), производная которой равна gt. Посмотрев внимательно, можно догадаться, что  S(t)=g∗t²/2.
Проверим правильность решения этой задачи:  S′(t)=(g∗t²/2.)′=g/2∗2t=g∗t.
Зная производную функции, мы нашли саму функцию, то есть выполнили обратную операцию.
Но стоит обратить внимание вот на такой момент. Решение нашей задачи требует уточнения, если к найденной функции прибавить любое число (константу), то значение производной не изменится: 

S(t)= g∗t²/2+c, c=const. S′(t)=( g∗t²/2)′+c′=g∗t+0=g ∗t.
Обратите внимание: задача имеет бесконечное множество решений! Если в задаче не задано начальное или какое-то другое условие, не забывайте прибавлять константу к решению. Например, в нашей задаче может быть задано положение нашего тела в самом начале движения. Тогда вычислить константу не трудно, подставив ноль в полученное уравнение, получим значение константы.
Как называется такая операция?  Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием.  Нахождение функции по заданной производной – интегрирование. 
Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.

Тема Первообразная.

Подготовить тетради и ручки.

Алгебра и начала математического анализа.

1. Формирование новых знаний и способов деятельности

10 мин

Консультация Первообразную принято записывать большой буквой  y=F′(x)=f(x).

Определение. Функцию y=F(x) называется первообразной функции у=f(x) на промежутке Х, если для любого хϵХ выполняется равенство  F′(x)=f(x).

Давайте составим таблицу первообразных для различных функции
В нашей таблице никаких начальных условий задано не было. Значит к каждому выражению в правой части таблицы следует прибавить константу. Позже мы уточним это правило.

Внимательно слушать консультацию. Записывать важные информации.

Интернет. Википедия.

Алгебра и начала математического анализа.

1. Первичная проверка понимания изученного материала

5 мин

Игра «Кто быстрее». Какая команда решит побольше задач в короткое время.

Командная работа.

1. Закрепление новых знаний и способов деятельности

15 мин

Правила нахождения первообразных. Давайте запишем несколько правил, которые нам помогут при нахождении первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.  F(x+y)=F(x)+F(y).
Пример. Найти первообразную для функции y=4x3+cos(x)y=4x3+cos(x).
Решение. Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций.
f(x)=4x³ = F(x)=x⁴.
f(x)=cos(x) =  F(x)=sin(x).
Тогда первообразной исходной функции будет: y=x⁴+sin(x) или любая функция вида y=x⁴+sin(x)+C.
Правило 2. Если F(x) – первообразная для f(x), то k∗F(x) – первообразная для функции k∗f(x). (Коэффициент можем спокойно выносить за функцию).
Пример.  Найти первообразные функций: а)  y=8sin(x). б)  y=−23cos(x). в)  у=3x²+4x+5.
Решение. а) Первообразной для  sin(x) служит -cos(x). Тогда первообразная исходной функции примет вид:  y=−8cos(x).
б) Первообразной для cos(x) служит  sin(x). Тогда первообразная исходной функции примет вид:  y=−23sin(x).
в) Первообразной для x² служит x³/3. Первообразной для x служит x²/2. Первообразной для 1 служит x. Тогда первообразная исходной функции примет вид: y=3∗ x³/3+4∗ x²/2+5∗x=x³+2x²+5x.
Правило 3. Если у=F(x)у=F(x) - первообразная для функции y=f(x), то первообразная для функции  y=f(kx+m) служит функция  y=1k∗F(kx+m).
Пример. Найти первообразные следующих функций:
а) y=cos(7x). б)  y=sin(x2). в) y=−2x+33. г) y=e2x+15.
Решение. а) Первообразной для cos(x) служит sin(x)sin(x). Тогда первообразная для функции  y=cos(7x) будет функция y=17∗sin(7x)=sin(7x)7.
б) Первообразной для sin(x)sin(x) служит минус cos(x)cos(x). Тогда первообразная для функции y=sin(x2)y=sin(x2) будет функция y=−112cos(x2)=−2cos(x2)y=−112cos(x2)=−2cos(x2).
в) Первообразной для x3x3 служит x44x44, тогда первообразная исходной функции y=−12∗(−2x+3)44=−(−2x+3)48y=−12∗(−2x+3)44=−(−2x+3)48.
г) Слегка упростим выражение в степени 2x+15=25x+15.
Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет y=125e25x+15=52∗e2x+15y=125e25x+15=52∗e2x+15.
Теорема. Если у=F(x)у=F(x) - первообразная для функции y=f(x)y=f(x) на промежутке Х, то у функции y=f(x)y=f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид у=F(x)+Су=F(x)+С.
Если во всех примерах, которые были рассмотрены выше, требовалось бы найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу С.
Для функции y=cos(7x)y=cos(7x) все первообразные имеют вид: y=sin(7x)7+Cy=sin(7x)7+C.
Для функции y=(−2x+3)3y=(−2x+3)3 все первообразные имеют вид: y=−(−2x+3)48+Cy=−(−2x+3)48+C.
Пример.  По заданному закону изменения скорости тела от времени v=−3sin(4t)v=−3sin(4t) найти закон движения S=S(t)S=S(t), если в начальный момент времени тело имело координату равную 1,75.
Решение. Так как v=S′(t)v=S′(t), нам надо найти первообразную для заданной скорости.
S=−3∗14(−cos(4t))+C=34cos(4t)+CS=−3∗14(−cos(4t))+C=34cos(4t)+C.
В этой задаче дано дополнительное условие - начальный момент времени. Это значит, что t=0t=0.
S(0)=34cos(4∗0)+C=74S(0)=34cos(4∗0)+C=74.
34cos(0)+C=7434cos(0)+C=74.
34∗1+C=7434∗1+C=74.
C=1C=1.
Тогда закон движения описывается формулой: S=34cos(4t)+1S=34cos(4t)+1

Решить примеры вместе с преподавателем. Записывать важные информации.

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 Алимов Москва 2014

1. Применение знаний и способов деятельности

10 мин

Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11», Алимов 988, 989

Работа на доске.

1. Обобщение и систематизация знаний

5 мин

Слайд «История возникновения интеграла»

.

1. Контроль и самоконтроль усвоения знаний и способов деятельности

10 мин

Задачи для самостоятельного решения
1. Найти первообразные функций:
а) y=−10sin(x)y=−10sin(x).
б) y=56cos(x)y=56cos(x).
в) y=4x5+3x2+5xy=4x5+3x2+5x.
2. Найти первообразные следующих функций:
а) y=cos(34x).
б) y=sin(8x).
в) y=(7x+4)4.
г) y=e3x+16.
3. По заданному закону изменения скорости тела от времени  v=4cos(6t) найти закон движения S=S(t), если в начальный момент времени тело имело координату равную 2

Парная работа.

Карточки с заданиями

1. Коррекция знаний и способов деятельности

5 мин

Метод «Вопрос - ответ»- обучающийся- преподаватель, обучающийся- обучающийся.

Задавать вопросы.

1. Информация о домашнем задании

2 мин

Задание на дом

Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11», Алимов §47, прочитать и конспектировать, № 835

Записать домашнее задание

Алгебра и начала анализа

1. Подведение итогов занятия и рефлексия

5 мин

Дать качественную оценку работы всей группы и отдельных обучающихся. Рефлексия «Знал… Узнал… Хочу знать…»