"Платоновы тела или правильные многогранники" Геометрия 9 класс

Платоновы тела или правильные многогранники

Выполнила : Матвиенко Дарья

Учащаяся 9 «Б» класса

Руководитель: Гориславец

Светлана Владимировна

Учитель математики

введение

Цели исследования:

• с помощью различных источников информации познакомиться с понятием Платоновы тела и узнать как можно больше всего, что с этим понятием связано;
• сделать модели правильных многогранников и провести опрос среди старшеклассников на знание понятия «Платоновы тела».

Задачи исследования :

- изучить понятие правильного многогранника, их свойства, виды и элементы, формулы объемов и площадей поверхностей;

- доказать существования ровно пяти правильных многогранников;

- познакомиться с краткой историей возникновения теории многогранников и с философией Платона;

- узнать о присутствии правильных многогранников в науках и искусстве.

Объект исследования : многогранники.

Краткая история

Честь открытия правильных многогранников приписывают древнегреческим учёным. Есть информация, что Пифагор впервые выделил эти фигуры. В других источниках утверждается, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а октаэдр и икосаэдр открыл Теэтет Афинский, который ещё описал все пять правильных многогранников. Полное же математическое описание пяти правильных многогранников дал Евклид и доказал, что других правильных многогранников нет.

многогранник

Многогранник  – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

Невыпуклый многогранник  – многогранник, у которого есть по крайней мере одна грань, через которую можно провести плоскость, которая поделит данный многогранник на две или более частей

Выпуклый многогранник  – многогранник, который располагается по одну сторону от плоскости любой его грани.

Правильные многогранники

Многогранник называется  правильным , если он выпуклый, все грани его являются равными  правильными многоугольниками и в каждой вершине его сходится одинаковое число рёбер.

Правильные многогранники

Правильный тетраэдр  – это многогранник, состоящий из четырех равносторонних треугольников.

Каждая его вершина есть вершина трех треугольников, следовательно сумма углов при каждой его вершине равна 180 градусам.

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер

Правильные многогранники

Правильный октаэдр  – многогранник, состоящий из восьми равносторонних треугольников.

Каждая вершина его является вершиной четырех треугольников, значит, сумма углов при каждой его вершине равна 240 градусам.

Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Правильные многогранники

Куб (гексаэдр)  – многогранник, состоящий из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов, значит, сумма углов при каждой вершине куба равна 270 градусам.

У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Правильные многогранники

Правильный икосаэдр  – многогранник, состоящий из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина его является вершиной пяти треугольников, значит, сумма углов при каждой вершине икосаэдра равна 300 градусам.

У икосаэдра 20 граней, 30 рёбер, 12 вершин. 

Правильные многогранники

Правильный додекаэдр  – многогранник, состоящий из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина его является вершиной трех правильных пятиугольников, следовательно, сумма углов при каждой вершине додекаэдра равна 324 градусам.

додекаэдр имеет 12 граней, 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Формулы Эйлера, объёма и площади поверхности многогранников

Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), число граней (Г) и число рёбер (Р) :

В + Г = Р + 2

Площадь поверхности многогранника:

SS грани

Объём правильного многогранника:

Правильные многогранники в живописи

• Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих картинах.
• Альбрехт Дюрер на переднем плане своей гравюры «Меланхолия» изобразил додекаэдр.
• На картине Сальвадора Дали «Тайная вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
• Голландский художник М. К. Эшера. на своей гравюре "Четыре тела" изобразил пересечение правильных многогранников. А в его работе "Порядок и хаос" звездчатый додекаэдр занимает центральное место: он помещен внутрь стеклянной сферы, контрастируя с беспорядочно разбросанным по столу мусором.

конструирование моделей Платоновых тел

Поверхность одного и того же многогранника может быть разрезана по-разному. Удобнее всего при создании моделей многогранников из плоских разверток использовать развертки, в которых грани прилегают ребрами друг к другу, а объёмная модель конструируется загибанием развертки вдоль ребер.

Опрос старшеклассников

вывод

Мне было интересно работать над выбранной темой. Я получила новые для себя знания. Узнала о существовании правильных многогранников не только в мире математики, но и в окружающей природе. Для меня было неожиданностью, что многие знаменитые художники используют в своих произведениях формы правильных многогранников. И это придает работам дополнительный эффект. Благодаря полученным знаниям, я смогла сконструировать модели правильных многогранников.

Закончить работу я бы хотела словами Архимеда, с которыми я полностью согласна: «Геометрия показалась мне очень интересной и какой – то волшебной наукой».

ИСТОЧНИКИ

• Погорелов А. В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. М., Просвещение, 2002.
• Смирнова И. М. В мире многогранников. М., 1990.
• Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике. М.: Вита-Пресс, 2001.
• Фридман Л. М. Изучаем математику, Москва, «Просвещение», 2002.

Интернет – ресурсы:

•   http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant1.pdf
•   http://www.etudes.ru/data/localdocs/dolbilin_kvant2.pdf
• Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги   https://www.mnogogranniki.ru/