Площадь плоской фигуры

Площадь плоской фигуры

Если на отрезке функция, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой осью и прямыми и (рис. 1), равна (1)

y y

a b

y=f(x) 0 x

S

S

y=f(x)

0 a b x

Рис. 1 Рис. 2

Если на (рис. 2), то (2)

Если конечное число раз меняет знак на отрезке , то интеграл по всему отрезку разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл по всему отрезку даст разность площадей, лежащих выше и ниже оси (рис. 3). Для того чтобы найти площадь, нужно найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным отрезкам или вычислить интеграл (3)

y y

y=f(x)

y=f(x)

S

+ +

y=g(x)

a 0 c — d b x

0 a b x

Рис. 3 Рис. 4

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и и двумя прямыми и , где на отрезке (рис. 4), находится по формуле (4)

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и осью ,

при

Решение. y

y=sinx

x

0

Так как при и при то

Следовательно,

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Решение. y

x-y+4=0

0 x

y=x²+4x

Решая совместно уравнения, определяющие данные линии, получим x₁= - 4 и x₂ = 1. Площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой находим по формуле (4):

Задания для самостоятельной работы

1) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и

2) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и

1. 3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми , кривой и осью ординат.

4) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и

5) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

6) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и

1. 7) Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой прямыми и осью абсцисс.

8) Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривой и осью абсцисс и прямыми до

9) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и

10) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и где

11) Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми ,

12) Найдите площадь части гиперболы отсекаемой от нее прямой

13) Вычислите площадь фигуры, заключенной между кривыми и