Подготовка к государственной итоговой аттестации в 9 классе (в новой форме) по теме: «Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессия».

Подготовка к государственной итоговой аттестации в 9 классе

(в новой форме) по теме: «Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессия».

1. Проверяемые знания и умения:

   1. Первая часть экзаменационной работы:

      • Знать и понимать термины: последовательность, член последовательности,

n-ый член последовательности, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, понимать и использовать индексные обозначения;

• Находить члены последовательности, заданной формулой n-го члена или рекуррентным способом;

• Распознавать арифметические и геометрические прогрессии при различных способах задания, переходить от одного способа задания прогрессии к другому, применять формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий для решения несложных задач, в том числе, из жизненной практики.

1. Повышенный и высокий уровень:

   • Решение задач с применением формул n-го члена и суммы n- первых членов арифметической и геометрической прогрессий;

   • Применять аппарат уравнений и неравенств при решении задач на прогрессии.

1. Типичные ошибки

В заданиях по этому блоку сделан акцент на понятийной стороне изучаемого вопроса, на владение математическим языком, используемым в этой теме. Нередки случаи, когда учащиеся, «пройдя» тему «Прогрессии», не владеют индексными обозначениями, не могут перевести на естественный язык рекуррентное соотношение, не понимая его содержательного смысла, т.е. усваивают тему формально, не овладевая ее общеобразовательной составляющей.

Учащихся затрудняют базовые, основополагающие задания на распознавание арифметической и геометрической прогрессий при разных способах заданий: перечислением первых нескольких членов, рекуррентной формулой, формулой n-го члена (от 20 до 30 % учащихся я не справляются с такими заданиями).

Если в задании предложена рекуррентная формула, то результат обычно ниже ожидаемого, хотя решение таких заданий всегда сводится к простым вычислениям по приведенной формуле нескольких членов последовательности. А ведь именно рекуррентным способом определяются арифметическая и геометрическая прогрессии.

1. Отработка ошибок

В качестве инструмента направленного на всестороннее усвоение материала и отработку наиболее часто допускаемых ошибок, на первом этапе можно использовать небольшие подготовительные задания, а затем разработанные нами тесты, в которых задания в части А предложены задания на «знание и понимание», задания части В на «отработку алгоритма», задания части С требуют свободного владения понятием прогрессии и взяты из ЕГЭ по математике прошлых лет

Подготовительные задания.

1. Найдите пятнадцатый член последовательности (с_n), если с_n=2n-8

Ответ: _________________________________

1. Про арифметическую прогрессию (а_n) известно, что а_n=3,2n+1,2. Найдите а_17..

Ответ: _________________________________

1. Про геометрическую прогрессию (b_n) известно, что b_n=*3ⁿ. Найдите b₈.

Ответ: _________________________________

1. Про арифметическую прогрессию (а_n) известно, что а_n=2,2n+1.2. Найдите .

Ответ: _________________________________

1. Про геометрическую прогрессию (b_n) известно, что b_n=12*3ⁿ. Найдите b₄-b₃.

Ответ: __________________________________

Тест 1.

Часть А:

1. Последовательность задана условиями: с₁= -, с_n+1= . Найдите с₆.

Ответ: _____________________

1. Последовательности заданы первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1. 1;2;3;4;5;… 2) 1;2;4;8;… 3) 1;3;5;7;… 4) 1;1;1;1;…

1. Последовательность задана формулой а_n=(-1)ⁿ n. Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1. -1 2) -4 3) -7 4) -9

Часть В:

1. Для каждой арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена, укажите ее разность

А) а_n=4n+3 Б) b_n=3n+2 B) c_n=2n-4

1) d=-4 2) d=4 3) d=2 4) d=3

Ответ:

1. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии

с_n: ;;;…. Найдите с₆.

Ответ: ____________________

1. Первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность прогрессии равна 6. Найдите сумму всех трехзначных членов прогрессии.

Часть С:

1. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 168, а сумма трех последующих членов равна 21. Найдите сумму первых четырех членов этой прогрессии.

1. За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов и из них 147 – в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущий. Сколько кораллов Карл украл в десятый день.

Тест 2.

Часть А.

1. Последовательность задана условиями а₁=-6, а_n+1= - . Найдите а₇.

Ответ: _________________________

1. Последовательности заданы первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1. 1;… 2) 1;2;4;8;… 3) 1;3;5;7;… 4) 1;2;3;5;…

1. Последовательность задана формулой а_n=(-1)ⁿ n. Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

1. 2 2) 4 3) 5 4) 8

Часть В:

1. Для каждой арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена, укажите ее разность.

А) a_n=4n+3 Б) b_n=2n+4 B) c_n=3n-2

1) d= -2 2) d=4 3) d=2 4) d=3

Ответ:

1. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии (b_n):24; 12; 6;.. Найдите b₆.

Ответ: __________________________

1. Первый член арифметической прогрессии равен 2, а разность прогрессии равна 7. Найдите сумму всех трехзначных членов прогрессии

Часть С:

1. Заданы три числа, которые образуют геометрическую прогрессию. Большее из этих чисел равно 18. Если вместо 18 взять 10, то получится арифметическая прогрессия. Найдите сумму трех заданных чисел.

2. Волшебник пообещал Незнайке за каждое доброе дело давать одну порцию мороженого. После этого Незнайка в каждый последующий день, начиная со второго, делал на одно доброе дело больше, чем в предыдущий. Запасов мороженого волшебнику хватило ровно на 12 дней. Планируя, что количество добрых дел будет увеличиваться таким же образом, волшебник догадался, что Незнайке хватит сил делать добрые дела еще 4 дня. Сколько пакетов с мороженым ему надо создать дополнительно, если в одном пакете 6 порций мороженого. 3 пакета волшебник обещал Кнопочке, а всего Незнайка съест 200 порций мороженого.

Тест 3.

Часть А.

1. Последовательность является арифметической прогрессией. Заполни таблицу и найди сумму чисел в последней строке.

Ответ: ___________________________________

1. Каждой последовательности, заданной формулой n-го члена (левый столбец), поставьте в соответствие верное утверждение (правый столбец):

А) x_m=m² 1) последовательность – арифметическая прогрессия

Б) x_m=2m 2) последовательность – геометрическая прогрессия

В) x_m=2^m 3) последовательность не является прогрессией

Ответ:

1. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

…..;-36;18;х;4,5;… Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

Ответ: _________________________

Часть В:

1. Геометрическая прогрессия задана условиями: b₁=1, b_n+1=2b_n. Какое из следующих чисел является членом этой прогрессии?

1. 12 2) 27 3) 39 4) 5

1. Третий член арифметической прогрессии равен 25, а десятый равен 4. Найдите сумму первых шестнадцати членов данной прогрессии.

2. Первый член арифметической прогрессии равен 12, а разность прогрессии равна 5. Найдите сумму всех трехзначных членов прогрессии.

Часть С:

1. Знаменатель геометрической прогрессии с конечным числом членов равен , третий член равен и сумма всех членов прогрессии равна 1. Найдите число членов прогрессии.

2. Молодому слоненку в зоопарке для нормального развития надо съесть 510 кг бананов. Слоненок в каждый последующий день, начиная со второго, съедал на 4 кг больше, чем в предыдущий. Запасов бананов ему хватило ровно на 9 дней. Планируя, что аппетит слоненка будет развиваться таким же образом, директор зоопарка определил, что слоненку для нормального развития понадобится еще 6 дней. Сколько ящиков с бананами ему надо заказать, если в одном ящике 9 кг бананов, а 4 ящика бананов съедят обезьяны.

Тест 4.

Часть А.

1. Последовательность является арифметической прогрессией. Заполни таблицу и найди сумму чисел в последней строке.

Ответ: _________________________________

1. Каждой последовательности, заданной формулой n-го члена (левый столбец), поставьте в соответствие верное утверждение (правый столбец):

А) 1) последовательность – арифметическая прогрессия

Б) 2) последовательность – геометрическая прогрессия

В) 3) последовательность не является прогрессией.

Ответ:

1. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

…;2;х;18;-54;…. Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х

Ответ: _____________________________

Часть В:

1. Геометрическая прогрессия задана условиями: b₁=1, b_n+1=3b_n. Какое из следующих чисел является членом этой прогрессии?

1. 27 2) 22 3) 15 4) 12

1. Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение второго и четвертого ее членов равно 45. Найдите шестой член этой прогрессии.

2. Первый член арифметической прогрессии равен 2, а разность прогрессии равна 7. Найдите сумму всех двузначных членов прогрессии.

Часть С:

1. Девятый член арифметической прогрессии равен -22, а сумма первых пятнадцати ее членов равна -285. Найдите сумму шестого, двенадцатого и девятнадцатого членов данной прогрессии.

2. Компьютерная игра состоит в последовательном прохождении нескольких уровней. За прохождение каждого уровня игрок получает 10 баллов. Кроме того, начисляются премиальные баллы по следующей схеме: 4 балла за 2 уровень, а за каждый следующий уровень на 4 балла больше, чем за предыдущий. Сколько уровней надо пройти, чтобы набрать ровно 570 баллов?

1. Примеры с решением:

Пример 1 (повышенный уровень): Начиная с какого номера, члены арифметической прогрессии 8; 11; 14; ….больше 150?

Ответ: начиная с номера 49.

Решение: в данной арифметической прогрессии а₁=8, d=11-8=3

Запишем формулу n-го члена этой прогрессии: a_n=8+3(n-1) и решим неравенство

8+3(n-1)150. Получим n48. Значит, члены данной прогрессии становятся больше 150, начиная с номера 49.

Предостережение: Не используйте «метод перебора» для нахождения необходимых членов прогрессии.

Помните, что номер члена прогрессии – натуральное число.

Совет: Повторите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Пример 2 (повышенный уровень):Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена а_n=5n+1. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по двадцать пятый включительно.

Ответ: 1111

Решение: обозначим искомую сумму через S, тогда S=S₂₅-S₁₄. Найдем S₂₅ и S₁₄.

Имеем: а₁=6, а₁₄=5*14+1=76, а₂₅=5*25+1=126

S₂₅==1650 S₁₄==539

S=1650-539=1111

Другое решение: найдем сумму членов арифметической прогрессии, первый член которой равен а₁₅, а последний равен а₂₅. Имеем:

а₁₅=76, а₂₅=126, n=25-14=11 S==1111

Предостережение: Помните, что первым членом в прогрессии ( в решении 2) будет а₁₅, а последним а₂₅. Будьте внимательны при определении количества членов прогрессии (в обоих решениях)

Совет: используйте формулу нахождения суммы арифметической прогрессии через первый и последний члены.

Пример 3 (повышенный уровень): Каждой последовательности, заданной формулой n-го члена (левый столбец), поставьте в соответствие верное утверждение (правый столбец).

А) x_m=m² 1) последовательность – арифметическая прогрессия

Б) x_m=2m 2) последовательность – геометрическая прогрессия

В) x_m=2^m 3) последовательность не является прогрессией

Решение : Числовая последовательность будет арифметической прогрессией, когда для получения следующего члена последовательности нужно прибавлять одно и то же число.

Числовая последовательность будет геометрической прогрессией, когда для получения следующего члена последовательности нужно умножать на одно и то же число.

Запишем несколько членов каждой последовательности, вычисляя по формулам.

(x_n): 1;4;9;16;…- ни прибавления, ни умножения на одно и то же число не наблюдается.

(y_n): 2;4;6;8;….- прибавляется 2 – арифметическая прогрессия

(z_n):2;4;8;16;….- умножается на 2 – геометрическая прогрессия

Ответ:

Другое решение: проверим определения арифметической и геометрической прогрессии

А) x_n=n², x_n+1= (n+1)²

x_n+1 – x=(n+1)² –n² =2n+1 не является постоянным числом, следовательно последовательность не является арифметической прогрессией;

= = - не является постоянным числом, следовательно, последовательность не является геометрической прогрессией;

Б) y_n=2n, y_n+1=2(n+1)

y_n+1 – y_n = 2(n+1)-2n=2, следовательно – арифметическая прогрессия

В) z_n=2ⁿ, z_n+1 = 2ⁿ⁺¹

= = 2 следовательно – геометрическая прогрессия

Предостережение: не перепутайте название прогрессий.

Совет: Повторите определения арифметической и геометрической прогрессий.

Пример 4 (повышенный уровень): В геометрической прогрессии b₂= -6, b₄₅=48. Является ли членом этой прогрессии число 192?

Решение: если в геометрической прогрессии b₂ = -6, b₅=48, то q³== -8, т.е. q= -2, a

b₁ = -6:(-2)=3.

Далее можно поступать по-разному. Например, так: подставим число 192 в формулу n-го члена геометрической прогрессии, получим уравнение 192=3*(-2)^n-1, откуда (-2)^n-1=64,

(-2)^n-1=(-2)⁶, n-1=6, n=7. Следовательно, 192=b₇.

Можно получить ответ и непосредственным умножением на -2 членов прогрессии, начиная с 48-го; получим: 48*(-2)= -96, -96*(-2)=192.

Ответ: является.

1. Дополнительные задания:

Повышенный уровень:

1. а) Начиная с какого номера, члены арифметической прогрессии 8; 11; 14; … больше 150?

б) Начиная с какого номера, члены арифметической прогрессии 260;253;246;..меньше 100?

1. а) Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена а_n=5n+1. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по двадцать пятый включительно.

б) арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена а_n=2n+3. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с десятого по тридцатый включительно.

1. а) Какое наименьшее число последовательных четных чисел, начиная с 2, надо сложить, чтобы их сумма оказалась больше 240?

б) Какое наибольшее число последовательных нечетных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы их сумма оказалась меньше 220?

1. а) Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые не делятся на 3.

б) Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 100, которые не делятся на 4.

1. а) В геометрической прогрессии b₃= , b₁₆=12. Является ли членом этой прогрессии число 144?

б) В геометрической прогрессии b₂= -6, b₅=48. Является ли членом этой прогрессии число 192?

Высокий уровень:

1. а) Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии на 32меньше суммы следующих четырех ее членов. На сколько сумма первых десяти членов этой прогрессии меньше суммы следующих десяти ее членов?

б) Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии на 200больше суммы следующих пяти ее членов. На сколько сумма первых десяти членов этой прогрессии больше суммы следующих десяти ее членов?

1. а) Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 36, а сумма второго и пятого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 124?

б) Разность пятого и первого членов геометрической прогрессии равна 80, а разность шестого и второго членов равна 240. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 364?

1. Справочный материал для ученика

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = , где

1. Совет учащимся:

Для решения задач, включенных в экзамен по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия», достаточно владеть терминологией и символикой, хорошо знать основные формулы, понимать смысл основных понятий и прибегать к здравому смыслу.

1. Методические рекомендации:

Отнесение заданий к той или иной познавательной категории условно.

Иллюстрацией этого может служить следующий пример, предлагаемый во второй части работы:

Пример 19. Арифметическая прогрессия задана условиями: а₁=4; а_n+1=а_n+4. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

1. 11 2) 15 3) 28 4) 13

Так, можно считать, что это задание относится к категории «решение задач», т.к. нет специального правила, позволяющего получить ответ на поставленный вопрос. Это задание можно отнести и к категории «знание и понимание»

В самом деле, для ответа на поставленный вопрос нужно только понимание смысла рекуррентной формулы, умение «прочитать ее».