Подготовка к ЕГЭ, задание 9.

Задание 9 проверяет умения учащихся находить:

- углы треугольников, четырехугольников и углы, вписанные в окружность;

• значения тригонометрических функций углов по известным элементам геометрических фигур ;
• неизвестные элементы геометрических фигур по известным значениям тригонометрических функций.

Для успешного выполнения этого задания требуются знания теорем о сумме углов многоугольника и об угле, вписанном в окружность; определений тригонометрических функций, их свойств и значений для основных углов; умения работать с формулами, выполнять арифметические действия и преобразования числовых выражений.

1. Один острый угол прямоугольного треугольника на 30 о больше другого. Найдите больший острый угол.

Решение. Пусть больший острый угол равен x . Тогда меньший острый угол равен x – 30 о . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 о , имеем уравнение 2 x – 30 о = 90 о , из которого находим x = 60 о .

Ответ. 60 о .

2 . В треугольнике ABC AС = BC , угол C равен 50 o . Найдите внешний угол CBD .  

Решение. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны и сумма углов треугольника равна 180 о , то углы A и B треугольника ABC равны 65 о . Следовательно, угол CBD равен 115 о .

Ответ. 115 о .

3 . В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C равен 50 o , угол CAD равен 30 o . Найдите угол B .

Ответ. 70 о .

4 . В треугольнике АВС CD – медиана, угол C равен 90 o , угол B равен 60 o . Найдите угол ACD .

Ответ. 30 о .

5 . В треугольнике АВС угол А равен 48 o , угол C равен 56 o . На продолжении стороны АB отложен отрезок BD = ВС . Найдите угол D треугольника BCD .

Ответ. 38 о .

6 . Сумма двух углов параллелограмма равна 80 о . Найдите один из оставшихся углов.

Ответ. 140 о .

7 . Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 60 о ?

Ответ. 120 о .

8 . Центральный угол на 3 5 о больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Ответ. 35 о .

9 . Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет одну пятую окружности.

Ответ. 36 о .

10 . Точки А , В , С , расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника АВС .

Ответ. 100 о .

1 1 . В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AB = 10, AC = 8 . Найдите sin A .

Решение 1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 10. Найдем катет BC . Используя теорему Пифагора, имеем BC = . Следовательно, sin A = 0,6.

Решение 2. Так как катет AC равен 8, а гипотенуза AB равна 10, то cos A = 0,8. Воспользуемся формулой , выражающей косинус через синус острого угла. Откуда sin A = 0,6.  

Ответ. 0,6.

1 2. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , высота CH равна 6, AC = 10. Найдите tg A .

Решение. В прямоугольном треугольнике ACH катет CH равен 6, гипотенуза AC равна 10. Используя теорему Пифагора, находим AH = 8. Следовательно, tg A = 0,75.

Ответ. 0,75.

13 . В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 12. Найдите sin A .

Решение. Проведем высоту CH . В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза AC равна 10, катет AH равен 6. По теореме Пифагора находим CH = 8 и, следовательно, sin A = 0,8.

Ответ. 0,8.

14 . В треугольнике ABC AC = BC , AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A .

Решение. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB равна 10, катет AH равен 8. По теореме Пифагора находим BH = 6 и, следовательно, cos B = 0,6. Так как углы A и B треугольника ABC равны, то cos A = 0,6.

Ответ. 0,6.

15 . В треугольнике ABC AB = BC , высота CH равна 8, AC = . Найдите тангенс угла ACB .

Решение. По теореме Пифагора найдем катет AH прямоугольного треугольника ACH . Имеем AH = . Откуда tg A = 0,5. Так как углы A и C треугольника ABC равны, то тангенс угла ACB равен 0,5.

Ответ. 0,5.

16 . В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AB = 10, BC = 6 . Найдите синус внешнего угла при вершине A .

Решение. Синус внешнего угла при вершине A треугольника ABC равен синусу угла A и, следовательно, равен 0,6.

Ответ. 0,6.

17 . В треугольнике ABC угол C равен 90 о , tg A = 0,75, AC = 8. Найдите AB .

Решение. Имеем BC = AC tg A = 8 0,75 = 6. По теореме Пифагора находим AB = 10.

Ответ. 10.

18 . В треугольнике ABC угол C равен 90 о , CH – высота, BC = 6, cos A = 0,8. Найдите CH .

Решение. Углы BCH и BAC равны, как острые углы с перпендикулярными сторонами, значит, cos BCH = 0,8. CH = BC cos BCH = 4,8.

Ответ. 4,8.

19 . В треугольнике ABC AC = BC = 10, sin A = 0,8. Найдите AB .

Решение. Проведем высоту CH . Имеем CH = AC sin A = 8. По теореме Пифагора находим AH = 6 и, следовательно, AB = 12.

Ответ. 12.

20 . В треугольнике ABC AC = BC , AB = 10, cos A = 0,6. Найдите высоту AH .

Решение. В равнобедренном треугольнике ABC угол A равен углу B , BH = AB cos B = 6. По теореме Пифагора находим AH = 8.

Ответ. 8.

21 . В треугольнике ABC AB = BC , высота CH равна 5, tg C = . Найдите AC .

Решение 1. В равнобедренном треугольнике ABC угол A равен углу C , значит, tg A = tg C и AH = . По теореме Пифагора находим AC = 10.

Решение 2. Так как tg C = , то угол C равен 30 о . Угол A равен углу C . Так как катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 о , равен половине гипотенузы, то AC = 10.

Ответ. 10.

22 . Найдите косинус угла AOB . В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

Решение. Рассмотрим треугольник OBС . OC = BC = , OB = . Следовательно, треугольник OBC – прямоугольный, косинус угла AOB равен .

Ответ. 1.