Подготовка к ЕГЭ

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ. СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА(№14).

Работа учителя математики

МАОУ «ССОШ№2»

Королевой Е.И.

Разновидности стереометрических задач.

• Расстояние от точки до прямой и до плоскости .
• Расстояние между прямыми и плоскостями .
• Угол между скрещивающимися прямыми .
•   Угол между прямой и плоскостью .
•   Угол между плоскостями .
• Задача на доказательство и вычисление .  
• Сечения многогранников .
• Объёмы многогранников .
• Круглые тела: цилиндр, конус, шар.

11/14/19

Расстояние от точки до прямой.

• Расстояние от точки до прямой , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
• Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
• Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой .

11/14/19

Задача№1

В единичном кубе ABCDA ₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки D₁ до прямой PQ,

где P и Q – середины соответственно

ребер A₁B₁ и BC.

11/14/19

Задача№2

В единичном кубе ABCDA ₁B₁C₁D₁ найти расстояние от точки С до прямой ВД1.

11/14/19

Дано: АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 – куб. АВ = 1. Найти: Расстояние от точки С до прямой ВД 1 .

Решение:

1. ∆ВСД 1 – прямоугольный ( по теореме о трёх

перпендикулярах), ∠Д 1 СВ – прямой .

2. СН – высота ∆ВСД 1 , значит СВ – среднее

пропорциональное между ВН и ВД 1 , тогда

II способ

СН – расстояние от точки С до прямой ВД 1 , поэтому СН – высота треугольника ВСД 1 . СН = 2·S ∆ВСД 1 : ВД 1 .

∆ Д 1 СВ – прямоугольный, т.к. Д 1 С  СВ

по теореме о трёх перпендикулярах .

Расстояние от точки до плоскости .

• Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этого точки на плоскость.
• Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.
• Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.
• Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.
• Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

11/14/19

Задача№3

• В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки C₁ до плоскости AB₁C.

11/14/19

Задача№4

• В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 –все рёбра равны 1.Найдите расстояние от точки А до плоскости (ВСА 1 )

11/14/19

Дано: АВСА 1 В 1 С 1 – правильная треугольная призма, все рёбра равны 1. Найдите: Расстояние от точки А до плоскости (ВСА 1 )

Решение: h – расстояние от точки А до плоскости (ВСА 1 ),

поэтому h – высота пирамиды АВСА 1

с основанием ВСА 1 . h =

. Пусть основанием пирамиды будет ∆АВС,

тогда её высота – АА 1 .

∆ ВСА 1 – равнобедренный, А1К – его высота, тогда

Ответ: h =

За страницами учебника Расстояние от точки А до плоскости можно вычислить по формуле:

тогда

они лежат в плоскости (ВСА 1 ).Рассмотрим

и найдём его координаты.

тогда получаем систему уравнений:

отсюда

где

, тогда

Расстояние между прямыми и плоскостями .

• Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым существует и единственен.

11/14/19

Задача№5

• Дан АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 – куб. Все его рёбра равны 1. Найдите расстояние между прямыми АВ 1 и ВС 1 .

11/14/19

Дано: АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 – куб. Все его рёбра равны 1. Найти: расстояние между прямыми АВ 1 и ВС 1 .

следовательно расстояние между скрещивающимися

прямыми ВС 1 и АВ 1 равно расстоянию между

соответствующими плоскостями. Диагональ СА 1

перпендикулярна этим плоскостям.

СА 1 ∩ (ВДС 1 ) = F;

CА 1 ∩ (АД 1 В 1 ) = Е.

EF – расстояние между ВС 1 и АВ 1 .

В ∆ АСЕ отрезок ОF ║ АЕ и проходит через середину отрезка АС, следовательно ОF – средняя линия треугольника АСЕ и, значит, ЕF = FC. Аналогично, О 1 Е – средняя линия треугольника А 1 С 1 F

За страницами учебника

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле:

Дано: АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 – куб. Все его рёбра равны 1. Найдите расстояние между прямыми АВ 1 и ВС 1 .

ЗАДАЧА№6.

• SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми АS и ВС.

11/14/19

Дано: SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны 1. Найдите: Расстояние между прямыми АS и ВС.

Угол между прямой и плоскостью .

• Прямая и плоскость пересекаются , если они имеют одну единственную общую точку, которую называют  точкой пересечения прямой и плоскости .
• Прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
• Проекцией точки  М  на плоскость   называется либо сама точка  М , если  М лежит в плоскости , либо точка пересечения плоскости  и прямой, перпендикулярной к плоскости  и проходящей через точку  М , если точка  М не лежит в плоскости .
• Проекцией прямой  a  на плоскость   называют множество проекций всех точек прямой  a  на плоскость .
• Угол между прямой и плоскостью , пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
• Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой  угол между двумя пересекающимися прямыми : самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.

11/14/19

11/14/19

На векторах     построена пирамида. Найдите угол между прямой   AD   и плоскостью   ABC .

Задача№7.

• На векторах  построена пирамида. Найдите угол между прямой  AD  и плоскостью  ABC .

11/14/19

• Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью по полученной формуле, нам нужно знать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. Направляющим вектором прямой  AD  является вектор 

Нормальный вектор   плоскости  АВС  перпендикулярен и вектору   и вектору  , то есть, в качестве нормального вектора плоскости  АВС  можно взять  векторное произведение векторов    и  :

Осталось подставить координаты векторов в формулу и вычислить требуемый угол между прямой и плоскостью:

11/14/19

Задача№8.

• В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA 1 B 1 C 1 D 1  найдите угол между плоскостью  A 1 BC  и прямой  BC 1 , если  AA 1  = 8,  AB  = 6,  BC  = 15.

• Решение на сайте «Решу ЕГЭ»

11/14/19

Угол между плоскостями .

11/14/19

11/14/19

11/14/19

11/14/19

11/14/19

11/14/19

11/14/19

Задача на доказательство и вычисление .  

Задача№9.

В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

11/14/19

Задача№10.

В основании правильной треугольной призмы  ABCA 1 B 1 C 1  лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка  N  — середина ребра  A 1 C 1 .

а) Постройте сечение призмы плоскостью  BAN .

б) Найдите периметр этого сечения.

См.сайт «Решу ЕГЭ»

11/14/19

Сечения многогранников .

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.

В задачах используются в основном простейшие многогранники.

Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

• что значит построить сечение многогранника плоскостью;
• как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
• как задается плоскость;
• когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

11/14/19

Поскольку плоскость определяется:

• тремя точками;
• прямой и точкой;
• двумя параллельными прямыми;
• двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует  три основных метода  построения сечений многогранников:

Метод следов. Метод вспомогательных сечений. Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями  Аксиоматического метода  построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;

• построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
• построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

11/14/19

11/14/19

11/14/19

Задача№11.

• В правильной четырёхугольной пирамиде  MABCD  с вершиной  M  стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка  N  принадлежит ребру  MC,  причём  MN: NC = 2:1.  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки  B  и  N  параллельно прямой  AC.
• См . сайт «Решу ЕГЭ»

11/14/19

Объёмы многогранников .

11/14/19

Задача№12.

• Правильные треугольники  ABC  и  MBC  лежат в перпендикулярных плоскостях,  BC  = 8. Точка  P  — середина  CM , а точка  T  делит отрезок  BM  так, что  BT  :  TM  = 1 : 3. Вычислите объём пирамиды  MPTA .

11/14/19

Задача№13.

• В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA 1 B 1 C 1 D 1  заданы длины ребер  AD  = 12,  AB  = 5,  AA 1  = 8. Найдите объем пирамиды  MB 1 C 1 D , если  M  — точка на ребре  AA 1 , причем  AM  = 5.

11/14/19

11/14/19

11/14/19

Круглые тела: цилиндр, конус, шар.

11/14/19

Задача№14.

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

11/14/19

Задача№15.

• Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

11/14/19

Литература:

• Геометрия 10 – 11 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни. Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселева, Э.Г.Позняк Москва «Просвещение» 2016 год
• Избранные вопросы профильного и предпрофильного курса математики. Авторы: И.Г.Малышев, М.А. Минчасова, Б.Н.Иванов. Нижний Новгород Нижегородский гуманитарный центр, 2007 год
• ЕГЭ 2011 Математика Задача С2 Геометрия Стереометрия Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко Москва Издательство МЦНМО 2011
• Интернет сайты(Решу ЕГЭ, Математика легко , и др.)