Подготовка к ЕГЭ по математике

Урок 96 – 98.

Подготовка к ЕГЭ.

Цели урока: решить полностью вариант ЕГЭ для освоения и ориентации в заданиях.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Задания с выбором ответа А1 – А13.

Часть 1.

А1. Найдите значение выражения .

1) 0; 2) 2; 3) 4; 4) 8.

Решение:

Ответ: 4.

А2. Упростите выражения .

1) ; 2) 3; 3) 0; 4) .

Решение:

Ответ: 2.

А3. Упростите выражения .

1) 0; 2) 13; 3) 7; 4) 4.

Решение:

Ответ: 4.

А4. Решите неравенство .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

, так как .

Ответ: 3.

А5. Укажите промежуток возрастания функции заданной графиком

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

Промежуток возрастания .

Ответ: 2.

А6. Упростите выражения .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

Ответ: 1.

А7. Найдите производную функции .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

Ответ: 1.

А8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

Ответ: 3.

А9. Найдите область определения функции .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

Нуль функции . При функция не существует. Отметим на координатной прямой данные значения .

Ответ: 2.

А10. Найдите значение производной функции в точке .

1) – 2; 2) 2; 3) – 1; 4) 1.

Решение:

Ответ: 4.

А11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1) – 3; 2) 3; 3) 5; 4) 8.

Решение:

– критическая точка, .

, где

Ответ: 4.

А12. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

Ответ: 2.

А13. Решите уравнение .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение:

Пусть , тогда

– нет корней.

Ответ: 2.

3. Задание с кратким ответом В1 – В9.

Часть 2.

В1. Решите уравнение .

Решение:

Если , то – верно.

Если , то – неверно.

– посторонний корень.

Ответ: 4.

В2. Найдите значение выражения .

Решение:

Используем формулы , , получим

Ответ: – 1.

В3. Найдите точку максимума функции .

Решение:

– критические точки.

Определим знаки производной.

– точка максимума.

Ответ: – 4.

В4. Решите уравнение .

Решение:

Обозначим , тогда

.

– нет решений.

Ответ: – 2.

В5. Катер прошел по течению реки расстояние от пункта А до пункта В за 3 часа, а от пункта В до А за 5 часов. За сколько времени проплывает от А до В плот?

Решение:

Введем обозначения: - скорость реки и плота, - скорость катера, - время, за которое плот проплывает от А до В, - расстояние от А до В.

Получим следующие уравнения:

Составим и решим систему относительно переменной :

Время, которое плыл плот 15 часов.

Ответ: 15.

В6. Найдите число целых решений неравенства .

Решение:

при любых значениях , значит

Целые числа, входящие в отрезок : Получилось три целых решения.

Ответ: 3.

В7. Найдите наибольшее целое значение параметра , при котором решение системы уравнений удовлетворяет неравенству .

Решение:

значит

Следовательно, – наибольшее целое значение параметра .

Ответ: 7.

В8. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3, апофема образует с плоскостью основания угол . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Из

Ответ: 24.

В9. Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 10.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса,

По условию , значит

Из подобия треугольников и , имеем:

Так как , получим

По смыслу задачи , значит .

Ответ: 3.

4. Задания с развернутым ответом С1 – С3.

Часть 3.

С1: Для каждого допустимого значения параметра . Решите неравенство .

Решение:

Неравенство равносильно двум системам:

и

Решим «параллельно» тригонометрические неравенства.

Решаем остальные неравенства систем.

1)

Нужно учитывать, что

2)

Аналогично предыдущему неравенству получаем

Нужно учитывать, что

Значит,

Запишем решение двух систем:

если то

если то

Ответ: при при

С2: Решите уравнение .

Решение:

Подставим это выражение в уравнение и разделим уравнение на 2, получим .

Выясним ограниченность значений функции

, значит

Выясним ограниченность значений функции

Так как значения функции ограничены сверху числом 1, а значения функции ограничены снизу тем же числом 1, то ясно, что , поэтому:

Решим более простое уравнение:

или

Если , то – верно.

Если , то – неверно.

Решение системы, а значит и уравнения .

Ответ: 0.

С3: Найдите целые корни уравнения .

Решение:

Значит получим:

Пусть тогда

, значит корни не целые числа.

Ответ: – 2; 6.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

Задания из ЕГЭ (приложение).

Урок 99 – 101.

Решение ЕГЭ.

Цели урока: Повторение материала по всем темам, подготовка к экзамену.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Задания ЕГЭ.

Лучше задания напечатать каждому учащемуся на индивидуальном листе.

ТЕСТЫ

ТРЕНИРОВАЧНЫЙ ВАРИАНТ ЕГЭ. (2003 год.)

Часть 1.

А1. Упростите выражение .

1) 1; 2) ; 3) ; 4) .

А2. Представьте выражение в виде степени.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А3. Вычислите .

1) 1,5; 2) 15; 3)0,015; 4) 0,15.

А4. Найдите значение выражения .

1) 11; 2) 2; 3) 3; 4) 22.

А5. Найдите все решения уравнения .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

А6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А7. Решите неравенство .

1) – 3; 2) ; 3) ; 4) .

А8. Определите число целых решений неравенства .

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

А9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А10. Функция задана графиком. Укажите область определения этой функции.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А11. Найдите область определения функции .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А12. Найдите множество значений функции .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А13. График, какой из перечисленных функций изображен на рисунке?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А14. Найдите производную функции .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

А15. Найдите первообразную функции , если известно, что .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

А14. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

1) 16; 2) 17; 3) 0,3; 4) 0.

Часть 2.

В1. Пусть решение системы . Найдите произведение .

В2. На рисунке изображен график производной функции , заданной на отрезке . Исследуйте функцию на монотонность и в ответе укажите число промежутков возрастания.

В3. Найдите значение выражения .

В4. Найдите наибольшее целое значение функции .

В5. Укажите число корней уравнения на промежутке .

В6. При каком значении функция имеет максимум в точке .

В7. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?

В8. Десятый член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых пятидесяти членов равна 2500. Найдите сумму третьего, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.

В9. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна , а все плоские углы при вершине прямые.

В10. Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен , а взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и на расстоянии от основания.

Часть 3.

С1. Решите уравнение .

С2. Найдите все значения , при которых уравнение не имеет корней.

С3. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно . Найдите объем призмы.

С4. Найдите все значения параметра , при которых область определения функции содержит два или три целых числа.

Ответы к варианту ЕГЭ. (2003 г)

Ответы к заданиям части А.

Ответы к заданиям части В.

Ответы к заданиям части С.

3. Итоги урока.

4. Домашнее задание.

Задания из ЕГЭ.

Урок 102.

Заключительный.

На этом уроке проводится анализ решения ЕГЭ, и подводятся итоги.

ТРЕНИРОВАЧНЫЙ ВАРИАНТ ЕГЭ. (2004 год.)

Часть 1.

А1. Вычислить .

1) 1; 2) – 148,5; 3) 133; 4) 125,5.

А2. Упростите выражения .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А3. Упростите выражения , если .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А4. Найдите значение , если .

1) – 1; 2) 15; 3) 3; 4) 6.

А5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А6. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А7. На рисунке изображены графики функций, заданных на отрезке . Укажите график нечетной функции.

А8. Укажите множество решений неравенства .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

А9. Вычислите значение производной функции в точке .

1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) – 1.

А10. Найдите область определения функции .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А11. Найдите множество значений функции .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А12. Решите уравнение .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

А13. На рисунке изображен график функции . Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

А1. Через точку графика функции с абсциссой проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Часть 2.

В1. Найдите значение выражения .

В2. Решите уравнение .

В3. Найдите значение выражения , где – площадь фигуры, ограниченной линиями .

В4. На рисунке изображен график производной функции , заданной на отрезке . Укажите число точек максимума функции .

В5. Найдите наибольшее значение функции на промежутке .

В6. Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции .

В7. Группа туристов в первый день путешествия прошла 10 км. Далее туристы решили преодолевать на 5 км больше, чем в предшествующий день, пользуясь при этом, если потребуется автостопом. В результате они преодолели 450 км. Сколько дней туристы были на маршруте, если в течение этого времени 8 дней они отдыхали?

В8. Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Точка расположена на ребре так, что и угол между плоскостями и равен . Найдите объем призмы, если .

В9. Биссектриса угла пересекает сторону треугольника в точке и делит ее на отрезки и . Найдите периметр треугольника , если биссектриса угла перпендикулярна прямой .

Часть 3.

С1. Решите систему уравнений

С2. В треугольнике . Найдите наибольшее значение площади треугольника , если его периметр равен 10, а точки и лежат соответственно на сторонах и .

С3. Диаметр основания и образующая конуса равны 4. Внутри конуса расположен шар. Этот шар касается основания конуса в точке . Расстояние , где О – центр основания конуса, равно 1,5. Плоскость , касающаяся поверхности шара, проходит через вершину конуса и пересекает его основание по хорде, перпендикулярной прямой . Найдите косинус угла между плоскостью и плоскостью основания конуса.

С4. Найдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства включает все члены некоторой арифметической прогрессии, содержащей как отрицательные, так и положительные члены, а разность этой прогрессии равна 0,5.

Ответы к тренировочному варианту.

Ответы к заданиям части А.

Ответы к заданиям части В.

Ответы к заданиям части С.

25