Подготовка к ЕГЭ по математике базового уровня. Задание 5

Подготовка к ЕГЭ 2025 год

задание 5

Базовый уровень

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 5 указывается «умение вычислять в простейших случаях вероятности событий».

Уровень сложности — базовый.

Максимальный балл за выполнение задания — 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) — 10.

Чтобы решить задание 5 по математике базового уровня необходимо знать:

• классическое определение вероятности,

• что такое противоположные события,

• определение несовместных событий,

• что такое пересечение несовместных событий.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события  A  называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов:

P ( A ) =  m / n , где  n  — общее число равновозможных исходов,  m  — число исходов, благоприятствующих событию  A .

Противоположные события

Событие, противоположное событию  A , обозначают  Ā . При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий и

P ( A ) +  P ( Ā ) = 1; P( Ā ) = 1– P ( A ).

Определение несовместных событий

Два события  A  и  B  называются несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятные одновременно как событию  A , так и событию  B .

Событие  C  означает, что произошло хотя бы одно из событий   A  и  B 

(пишут  C  =  A ∪ B ).

Если события  A  и  B  несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий  A  и  B :

P ( A ∪ B ) =  P ( A ) +  P ( B )

Пересечение независимых событий

Два события  A  и  B  называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от произойдет или не произойдет другое событие.

Событие  C  называют пересечение событий  A  и  B 

(пишут  C  =  A ∩ B ), если событие  C  означает, что произошли оба события  A  и  B .

Если события  A  и  B  независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий  A  и  B :

P ( A ∩ B ) =  P ( A )∙ P ( B )

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.

В данной задаче применимо классическое определение теории вероятности.

Таким образом, 

n  = 35 (общее число равновозможных исходов), 

m  = 7 (число исходов, благоприятствующих событию  A ),

так как по условию из России учувствует 7 спортсменов. Следовательно, запишем решение задачи:

P ( A ) = 7/35 = 1/5 = 0,2.

Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?

Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?

1. Для начала вычислим количество исправных лампочек:

100–3 = 97.

2. Таким образом, мы понимаем, что из 100 лампочек 97 исправны и 3 неисправны, т.е.,  n  = 100, а  m  = 97. Тогда воспользовавшись формулой классической теории вероятности, найдем решение задачи:

P ( A ) = 97/100 = 0,97.

Ответ: 0,97.

Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?

1. Найдём вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется неисправной:

P ( A ) = 3/100 = 0,03.

2. А так как нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной, т.е., событие, противоположное событию  P ( A ), то воспользуемся формулой для нахождения события, противоположного данному:

P ( Ā ) = 1–0,03 = 0,97.

Ответ: 0,97.

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов: первые два дня — по 13 докладов, остальные доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора К. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора К. окажется запланированным на последний день конференции?

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов: первые два дня — по 13 докладов, остальные доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора К. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора К. окажется запланированным на последний день конференции?

1. Выясним, сколько докладов будет представлено в каждый из 4-х дней конференции (так как всего запланировано 50 докладов: первые два дня — по 13 докладов, остальные доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями, то в третий и четвёртый день будет представлено по (50–13–13): 2 = 12 докладов). Выпишем подробнее:

• в первый день — 13;

• во второй день — 13;

• в третий день — 12;

• в четвертый день — 12.

2. Воспользуемся формулой классической теории вероятности. В данном случае  n  = 50, а  m  = 12:

P ( A ) = 12/50 = 0,24.

Ответ: 0,24.

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,84. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного телефона не разобьётся.

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,84. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного телефона не разобьётся.

При падении у экрана телефона только два варианта - разбиться или нет. Поэтому, чтобы вычислить требуемую вероятность, необходимо из

1 вычесть вероятность экрана телефона разбиться: 

  1-0,84=0,16    

   В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

   В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Известно, что при бросании игрального кубика может выпасть любое целое число от 1 до 6 с вероятностью 1/6 (так как у кубика 6 граней и все они симметричны).

Чтобы получилось ровно 8 очков при бросании двух игральных кубиков, возможны следующие варианты:

2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2,

то есть число благоприятных исходов m=5. Общее число возможных исходов, равно                         . Таким образом, искомая вероятность, равна:

Ответ:  0,14.

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Количество натуральных чисел от 10 до 19 равно 10, то есть  n=10.

Среди них делятся на 3 всего 3 числа: 12, 15, 18, то есть  m=3.

Тогда вероятность того, что случайно выбранное натуральное число

от 10 до 19 делится на 3 равна

Р(А)=3/10=0,3

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе  не пишет, равна 0,21. Покупатель не глядя берёт одну шариковую ручку  из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо

Домашнее задание:

Задача № 5 в сборнике Ященко 1-10 вариант

Спасибо за урок!