Определение угла между прямой и плоскостью | Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость |
алгоритм построения угла между прямой и плоскостью при решении задач | -
найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, -
выяснить, что из себя представляет проекция, -
решать планиметрическую задачу по поиску угла в треугольнике (зачастую прямоугольном). |
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними . | Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними . |
|
Постройте в правильной треугольной пирамиде у гол между ребром SA и плоскостью ABC | у гол между ребром SB и плоскостью ASC | у гол между ребром AB и плоскостью SBC | |
Некоторые формулы, используемые для решения задач методом координат |
- направляющий вектор прямой Общее уравнение плоскости: - угол между прямой и плоскостью | Синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой |
Типовая задача | Дан куб . Чему равен угол между и плоскостью ? Ответ: 350 |
Опорная задача | В правильной шестиугольной призме, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой и плоскостью . Решение 1.Проводим прямую . параллельно прямой , поэтому угол между прямой и плоскостью будет равен углу между прямой и плоскостью -
2. Опускаем на плоскость перпендикулярную ей прямую . 3 7 .Проводим через точки и прямую . Эта прямая является проекцией прямой на плоскость 4.По определению, углом между прямой и плоскостью будет угол между прямой ее проекцией . 5. Находим : По свойствам правильной шестиугольной призмы треугольник OCB является правильным треугольником. Все углы правильного треугольника равны 60 градусам. Следовательно Ответ: |
найти угол между прямой и плоскостью | 2 |
1 | |
4 3 | |
| |
| |
6
5
8
Ответы на задания по готовым чертежам:
1 способ (геометрический):
Сечение плоскостью A1BC есть прямоугольник A1BCD1.
Из точки C1 проведем перпендикуляр C1H к CD1. BH — проекция BC1на плоскость A1BC. Значит, нужно найти угол C1BH.
В прямоугольном треугольнике D1C1C находим:
В прямоугольном треугольнике BCC1 находим: BC1 = 17.
В прямоугольном треугольнике C1HB находим:
Ответ:
Задание из открытого банка задач ЕГЭ
В прямоугольном параллелепипеде
найдите угол между плоскостью
и прямой
, если
2 способ (аналитический):
-
Введем систему координат с началом в точке
тогда
-
Найдем уравнение плоскости
:
, тогда
Тогда уравнение плоскости
принимает вид:
|∙24
-
направляющий вектор прямой
:
-
Тогда по формуле угла косинуса угла между направляющим вектором и нормалью плоскостями получаем:
Ответ: .
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Мурманска «Лицей №2»
«Угол между прямой и плоскостью»
Мурманск, 2020 г.