Подготовка к ЕГЭ. Угол между прямыми в пространстве.

Ответы на задания по готовым чертежам:

1 способ (геометрический):

Примем ребро куба за   Тогда 

Поскольку  , получаем:   и 

В прямоугольном треугольнике   с прямым углом     имеем:

В прямоугольном треугольнике   с прямым углом   имеем:

В треугольнике   получаем:

откуда

Тогда 

Ответ:

Задание из открытого банка задач ЕГЭ

На ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что CE : EC₁ = 1 : 2.

б) Найдите угол между прямыми BE и AC₁.

2 способ (аналитический):

1. Введем систему координат с началом в точке тогда

2. направляющий вектор прямой :

3. направляющий вектор прямой :

4. Тогда по формуле угла косинуса угла между скрещивающимися прямыми получаем:

Ответ: .

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Мурманска «Лицей №2»

«Угол между скрещивающимися прямыми»

Мурманск, 2020 г.

Угол между прямыми в пространстве

II. ОТМЕТИТЬ ВЕРНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

1. Пусть и – скрещивающиеся прямые, а прямая . Верно ли, что угол между прямыми и равен углу между прямыми и ?

2. Пусть и – скрещивающиеся прямые. Прямая проходит через точку , параллельно прямой и образует с прямой угол, равный . Верно ли, что угол между прямыми и равен ?

3.   – куб. Верно ли, что угол между прямыми и равен 90°?

4. – куб. Верно ли, что угол между прямыми и равен 45°?

1. Два квадрата , и прямоугольный треугольник ( ) расположены в пространстве так, как показано на рисунке. Точки и –середины отрезков и . Верно ли, что угол между прямыми и равен 90°?

1. – прямоугольный параллелепипед, точки и – середины рёбер и соответственно. Верно ли, что угол между прямыми и равен 90°?

1. – куб, – точка пересечения диагоналей грани . Верно ли, что угол между прямыми и (точки и – середины рёбер и соответственно) равен 30°?

Ответы:

1. да

2. да

3. да

4. нет

5. нет

6. да

7. да

Угол между прямыми в пространстве

III. ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ

Ответы к задачам на готовых чертежах

таблица 1

1. ответы к чертёжу 1:

таблица 2

таблица 3

таблица 4

Угол между прямыми в пространстве

V. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

(тренировочные задачи)

1. Дана треугольная пирамида . Найти угол между прямыми и , если , а расстояние между серединами рёбер равно .

2. Точка лежит на ребре треугольной пирамиды . Пусть - точка пересечения плоскости с ребром . Найти угол между прямыми и , если - середина ребра .

3. В правильной шестиугольной пирамиде с вершиной точка - середина бокового ребра . Найдите угол между прямыми .

4. Точка лежит на боковом ребре правильной шестиугольной пирамиды с вершиной . Найти угол между прямыми и , если стороны основания пирамиды равны 6, боковые рёбра равны , а .

5. Основания призмы —равносторонние треугольники. Точки и —центры оснований и соответственно.

1. Доказать, что угол между прямыми и равен .

2. Найти угол между прямыми BM1 и C1M, если призма прямая и

1. Основание прямой призмы - равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине . Точка —середина ребра . Известно, что .

1. Доказать, что прямые и перпендикулярны.

2. Найти угол между прямыми и .

1. Дана правильная шестиугольная призма со стороной основания и боковым ребром 1. Найти угол между прямыми и .

2. Дана правильная шестиугольная призма . Найти угол между прямыми и , если .

3. Дана правильная пирамиды , причём все её рёбра равны. Точка - середина ребра , —середина ребра . Найдите угол между прямыми и .

4. Дана правильная пирамида , причём все её рёбра равны. Точка - середина ребра . Найдите угол между прямыми и .

Ответы:

Угол между прямыми в пространстве

источники:

1. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2016

2. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Геометрия. / Рабинович Е.М. - М.: ИЛЕКСА, 2014

3. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах. 10-11 кл. / Смирнова И.М. - М. - "Аквариум", 1999

4. Геометрия: Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы / Э.Н.Балаян. - Ростов-н/Д: Феникс, 2013

5. ЕГЭ 2019. 100 баллов. Математика. Профильный уровень. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия. / Е.В.Потоскуев. - М.: "Экзамен", 2019

6. ЕГЭ 2019. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень) / под ред. И.В.Ященко - М. : МЦМНО, 2019

Угол между прямыми в пространстве

IV. ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Дан куб . Найти:

1. 

2. 

3. 

4. угол между прямыми и

5. угол между прямыми и

1. Дана треугольная призма , основаниями которой являются правильные треугольники, а боковыми гранями - квадраты. Найти:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. угол между прямыми и

1. Найти угол прямоугольного параллелепипеда у которого . Ответ дать в градусах.

2. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 31. Найти угол . Ответ дать в градусах.

3. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 20. Найти угол . Ответ дать в градусах.

4. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 30. Найти тангенс угла .

5. Найти косинус угла между скрещивающимися диагоналями двух боковых граней правильной треугольной призмы, боковое ребро которой вдвое меньше стороны основания.

6. Основание прямого параллелепипеда ромб . Найти угол между прямыми и .

Ответы:

1. задача 1.

1. задача 2.

Угол между прямыми в пространстве

I. ТЕОРИЯ

Определение 1.

Две  прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не находятся в одной плоскости.

Определение 2.

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол, который образуется между двумя прямыми, параллельными заданным скрещивающимся прямым.

Алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми.

С помощью параллельного переноса: произвести перенос одной из скрещивающихся прямых (или сразу двух) так, чтобы прямые, полученные в результате этого преобразования, пересекались. Тем самым исходная задача сводится к нахождению угла между двумя прямыми на плоскости.

Алгоритм решения:

1. Определение типа прямых. 

2. Параллельный перенос одной или обеих прямых. 

3. Нахождение требуемого угла.

Предлагаемый материал предназначен как для подготовки выпускников 11-х классов общеобразовательных учреждений к государственной итоговой аттестации по математике, так и при изучении темы «Угол между прямыми в пространстве». Материал состоит из комплекта: теория по теме, задания на выбор верного утверждения, задачи на готовых чертежах, опорные задачи и задачи для самостоятельного решения. все наборы задач снабжены ответами и могут быть использованы при различных видах работы с обучающимися: в индивидуальных консультациях, при самостоятельной подготовке или поэтапно при изучении темы.

Работа составлена с использованием следующих источников:

1. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2016

2. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Геометрия. / Рабинович Е.М. - М.: ИЛЕКСА, 2014

3. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах. 10-11 кл. / Смирнова И.М. - М. - "Аквариум", 1999

4. Геометрия: Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы / Э.Н.Балаян. - Ростов-н/Д: Феникс, 2013

5. ЕГЭ 2019. 100 баллов. Математика. Профильный уровень. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия. / Е.В.Потоскуев. - М.: "Экзамен", 2019

6. ЕГЭ 2019. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень) / под ред. И.В.Ященко - М. : МЦМНО, 2019