Подготовка к ЕГЭ. Закон сохранения энергии в электрической цепи.

Подготовка к ЕГЭ. Закон сохранения энергии в электрической цепи. Занятие № 3.

Для любой электрической цепи верен закон сохранения энергии, согласно которому в течение заданного промежутка времени : W_э1 + A_ист + A_мех = W_э2 + Q.

W_э1, W_э2- суммарная энергия всех конденсаторов до и после перезарядки;  A_ист - работа всех источников постоянного тока; A_мех - механическая  работа внешних механических сил (например, когда сдвигают обкладки конденсатора, явно воздействуют на цепь внешними силами); Q - количество теплоты, выделяемой в цепи в этом временном промежутке.

Энергию конденсатора находят по формулам: W_э = = = , где C -  емкость конденсатора,  U -  напряжение на конденсаторе, q - заряд конденсатора.

Работу отдельно взятого источника тока A_ист с ЭДС Ɛ определяют следующим образом. 

Пусть за промежуток времени через источник протек заряд .

• Если заряд протекал по направлению действия сторонних сил этого источника, то источник совершил положительную работу А_ист = Ɛ  (рабочий режим).

• Если заряд протекал по направлению, противоположному действию сторонних сил этого источника, то источник совершил отрицательную работу А_ист = Ɛ  (режим перезарядки).

Протекший заряд определяется по обкладкам конденсатора, примыкающим к источнику: = q q₀.

Теплота  в электрической цепи выделяется только на резисторах, через которые протекает электрический ток.

Задача 1 (Решу ЕГЭ). К источнику тока с ЭДС 2 В подключен конденсатор емкостью 1 мкФ. Какое тепло выделится в цепи в процессе зарядки конденсатора? Эффектами излучения пренебречь.

Решение. Закон сохранения энергии для электрической цепи: A_ист = W_э + Q. Источник тока совершает работу по переносу заряда с одной пластины конденсатора на другую: А_ист = Ɛ . Заряд, перенесенный источником равен заряду конденсатора: = q = CƐ. Энергия заряженного конденсатора равна: W_э = = . В процессе зарядки конденсатора выделится количество теплоты: Q = A_ист W_э , Q = CƐ² = = 2 мкДж.

Ответ: Q = 2 мкДж.

З адача 2 (Решу ЕГЭ). В схеме, показанной на рисунке, ключ К долгое время находился в положении 1. В момент  t₀ = 0 ключ перевели в положение 2. К моменту t  0 на резисторе R = 100 кОм  выделилось количество теплоты Q = 25 мкДж. Сила тока в цепи в этот момент равна I = 0,1 мА.  Чему равна ёмкость С конденсатора? ЭДС батареи Ɛ =15В, её внутреннее сопротивление r = 30 Ом. Потерями на электромагнитное излучение пренебречь.

Решение: В положении 1 ключа конденсатор заряжается до напряжения равного ЭДС источника: U₁ = Ɛ. Энергия заряженного конденсатора в этом положении равна: W_э = , W_э1 = . После переключения ключа в положение 2 конденсатор начинает разряжаться, в цепи течет ток, равный по закону Ома: I = , U = IR, где U – остаточное напряжение на конденсаторе в момент времени t. Закон сохранения энергии для электрической цепи: W_э1 = W_э2 + Q, = + Q, C Ɛ² C U² = 2Q, C = = = 0,4·10^-6 Ф.

Ответ: C = 0,4 мкФ.

З адача 3 (Решу ЕГЭ). В цепи, изображённой на рисунке, ЭДС батареи равна 100 В, сопротивления резисторов  R₁ = 10 Ом и R₂ = 6 Ом, а ёмкости конденсаторов C₁ = 100 мкФ и C₂ = 60 мкФ. В начальном состоянии ключ К разомкнут, а конденсаторы не заряжены. Через некоторое время после замыкания ключа в системе установится равновесие. Какую работу совершат сторонние силы к моменту установления равновесия?

Решение: После установления равновесия ток через резисторы прекратится. Конденсатор C₁ будет заряжен до напряжения равного ЭДС источника: U_c1 = Ɛ. Конденсатор C₂ разряжен, так как его пластины соединены между собой через резисторы, U_c2 = U₁ = I₁R₁ = 0. Сторонние силы совершают работу по переносу заряда: А_ст = Ɛ , = q q₀ = C₁Ɛ - 0.

А_ст = Ɛ²C₁, А_ст = 100² · 100 · 10^-6 = 1 (Дж).

Ответ: А_ст = 1Дж.

З адача 5 (Решу ЕГЭ). В цепи, схема которой изображена на рисунке, оба конденсатора вначале разряжены. Ключ К₁ замыкают на достаточно долгое время, пока ток в цепи не прекратится, а затем замыкают ключ К₂. Какое количество теплоты Q выделится в цепи после замыкания ключа К₂? Параметры цепи: U = 10 В, C₁ = 10 мкФ, C₂ = 5 мкФ.

Решение: При замыкания ключа К₁ после установления равновесия в цепи, напряжение на конденсаторе C₁  будет равно ЭДС источника, а заряд: q₁ = C₁U. Энергия конденсатора: W_э1 = . После замыкания ключа К₂ конденсатор C₂ зарядится до напряжения U и заряда q₂ = C₂U. На конденсаторе C₁ останется заряд q₁. Таким образом, через источник протечёт заряд = q₂. По закону сохранения энергии в электрической цепи: W_э1 + A_ист = W_э2 + Q. После замыкания ключа К₂ работа источника равна: А_ст = U = Uq₂ = C₂U ². Общая энергия конденсаторов: W_э2 = . В цепи выделится количество теплоты: Q = A_ист (W_э2 W_э1) = C₂U² ) = , Q = = 2,5 · 10⁻⁴ Дж.

Ответ: 0,25 мДж.

З адача 6 (Решу ЕГЭ). В цепи, схема которой изображена на рисунке, в начале замыкают ключ К налево, в положение 1. Спустя некоторое время, достаточное для зарядки конденсатора ёмкостью 2С = 10 мкФ от идеальной батареи с напряжением U = 300 В, ключ К замыкают направо, в положение 2, подсоединяя при этом к первому, заряженному, конденсатору второй, незаряженный, конденсатор ёмкостью С = 5 мкФ. Какое количество теплоты Q выделится в резисторе R в течение всех описанных процессов? Первый конденсатор сначала был незаряженным.

Решение: после замыкания ключа в положение 1, конденсатор емкостью 2С заряжается до напряжения U, и приобретает энергию W_э1 = = СU². Источник совершит работу по переносу заряда = q = 2СU равную А_ст = U = 2СU². Согласно закону сохранения энергии в электрической цепи: A_ист = W_э1 + Q₁. Количество теплоты, выделенное в течение этого процесса: Q₁ = A_ист W_э1 = 2СU² СU² = СU².

После замыкания ключа в положение 2 конденсаторы будут соединены параллельно и их общая емкость равна: С_общ = 2С + С = 3С. Согласно закону сохранения заряда, общий заряд конденсаторов будет равен заряду конденсатора 2С до замыкания ключа в положение 2: q_общ = q = 2СU. Общая энергия конденсаторов: W_э2 = = = СU². По закону сохранения энергии в электрической цепи: W_э1 = W_э2 + Q₂, количество теплоты, выделенное в течение перезарядки конденсаторов: Q₂ = W_э1 W_э2 = СU² СU² = СU².

Количество теплоты, которое выделится в течение всех описанных процессов: Q = Q₁ + Q₂ = СU² + СU² = СU², Q = ·5·10 ^-6 Ф · (300 В)² = 0,6 Дж.

Ответ: 0,6 Дж.

З адача 7 (Грачев). Конденсатор емкостью С, имеющий заряд q₀, подключают к источнику постоянного тока с ЭДС Ԑ и внутренним сопротивлением r через сопротивление R = 2r так, как показано на рис. Определите количество теплоты, которое выделится на сопротивлении R за время перезарядки конденсатора.

Решение. После замыкания ключа в цепи будет течь ток до тех пор, пока напряжение на конденсаторе U не станет равным ЭДС источника тока Ԑ. После перезарядки заряд конденсатора: q = СU = CƐ. Протекший за время перезарядки конденсатора заряд равен: = q q₀. Источник тока совершит работу: А_ст = U = Ԑ( q₀). Начальная энергия электрического поля конденсатора: W₀ = . После перезарядки конечная энергия электрического поля конденсатора: W = . По закону сохранения энергии в электрической цепи: W₀ + A_ист = W + Q, где Q – количество теплоты, выделившееся на сопротивлениях r и R, при перезарядке конденсатора.

Q = W₀ + A_ист = + Ԑ (q q₀) = = ,

Q = = = .

Согласно закону Джоуля – Ленца на внешнем сопротивлении, выделится количество теплоты: Q_R = , на внутреннем: Q_r = . Следовательно, = = = 2.

Общее количество выделившейся теплоты: Q = Q_R + Q_r , а Q_R = = .

Ответ: Q_R = .

Задача 8 (Отличник ЕГЭ). Два конденсатора емкостями С₁ = 1 мкФ и С₂ = 3 мкФ соединены последовательно и постоянно подключены к источнику с ЭДС Ԑ = 100 В и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением. В некоторый момент времени параллельно конденсатору C₂ подсоединили резистор. Какое количество теплоты Q выделится в этом резисторе в процессе перераспределения зарядов в конденсаторах, если перед подключением резистора заряды на конденсаторах были одинаковы?

Решение. При последовательном соединении конденсаторов заряды на конденсаторах будут равны общему заряду батареи: q₁ = q₂ = q = С_батU, емкость батареи конденсаторов: С_бат = , напряжение между обкладками батареи конденсаторов: U = Ԑ. Подставим и найдем общий заряд q = Ԑ . Энергия, накопленная конденсаторами равна: W₁ = = ·Ԑ².

Рассмотрим цепь после подключения резистора параллельно конденсатору С₂. Конденсатор C₂ будет разряжен, так как его пластины соединены между собой через резистор, U_c2 = U_R = IR = 0. Заряд и энергия электрического поля конденсатора С₁ равны: q´ = Ԑ С₁, W₂ = .

Количество теплоты, выделившееся в резисторе, в процессе перераспределения зарядов на конденсаторах найдем по закону сохранения энергии для электрической цепи: W₁ + A_ист = W₂ + Q, Q = A_ист W₂ W₁. Работа источника тока равна: А_ист = Ɛ = Ɛ = Ɛ Ԑ С₁ Ԑ ) = Ɛ²С₁ (1 ) = Ɛ² .

Q = Ɛ² + ·Ԑ² = = 1,25 · 10^-3 Дж.

Ответ: Q = 1,25 мДж.

З адача 9 (Отличник ЕГЭ). В схеме, изображенной на рисунке, ключ находился достаточно долго в положении 1. Какое количество теплоты Q выделится в источнике Ԑ₂ после переключения ключа в положение 2? Емкость конденсатора С = 20 мкФ, ЭДС источников Ԑ₁ = 10 В, Ԑ₂ = 5 В. Сопротивлением соединительных проводов и ключа, а также потерями на излучение пренебречь.

Решение. По закону сохранения энергии в электрической цепи: W_э1 + A_ист = W_э2 + Q. В процессе перезарядки конденсатора выделится количество теплоты: Q = A_ист + W_1э W_2э.

При замыкании ключа в положение 1 после установления равновесия в цепи, напряжение на конденсаторе C будет равно ЭДС источника, а заряд на нижней пластине: q₁ = −CƐ₁. Энергия конденсатора: W_э1 = . После переключения ключа в положение 2 заряд нижней пластины и энергия конденсатора C станут равными: q₂ = +CƐ₂, W_э2 = .

При этом источник тока совершит: А_ист = Ɛ₂ . Заряд, перенесенный источником равен: = q₂ − q₁ = +CƐ₂− (−CƐ₁) = C(Ɛ₁ + Ɛ₂). Объединяя записанные выражения, получаем ответ: Q = CƐ₂(Ɛ₁ + Ɛ₂) + = + CƐ₁Ɛ₂ + = ( + 2 Ɛ₁Ɛ₂ + ) = , Q = Ф · (10 В +5 В)² = 225 · 10^-5 Дж = 2,25 мДж.

Ответ: Q = 2,25 мДж.

! При решении этой задачи следует внимательно проанализировать перемещение зарядов при переключении ключа. Ошибка в знаке заряда может привести к неправильному ответу.

Задача 10 (Решу ЕГЭ) . И сточник постоянного напряжения с ЭДС 100 В подключён через резистор к конденсатору, расстояние между пластинами которого можно изменять (см. рис.). Пластины раздвинули, совершив при этом работу 90 мкДж против сил притяжения пластин. На какую величину изменилась ёмкость конденсатора, если за время движения пластин на резисторе выделилось количество теплоты 40 мкДж? Потерями на излучение пренебречь.

Решение. Закон сохранения энергии для электрической цепи: W_э1 + A_ист + A_мех = W_э2 + Q,  где W_э1 и   W_э2 - энергия электрического поля конденсатора соответственно в начале и конце процесса;  A_ист  - работа источника тока; A_мех  - работа, совершённая против сил притяжения пластин; Q - количество теплоты, выделившееся на резисторе. При этом W_э1 = , W_э2 = , A_ист = Ɛ = Ɛ(C₂Ɛ – C₁Ɛ) = Ɛ²(C₂ – C₁) = Ɛ² , где   - изменение ёмкости конденсатора.

Из этих уравнений получаем: + Ɛ² + A_мех = + Q,

Ɛ² + A_мех = + Q, + A_мех = Q. Отсюда:  = = − 10⁻⁸ Ф.

Ответ:  = − 10⁻⁸ Ф.

Задача 11 (Всероссийская олимпиада школьников, муниципальный этап, 11 класс, 2020 год, задача № 5 «Диэлектрическое вещество»)

Экспериментатор Глюк собрал электрическую цепь, представленную на рис.1. Сначала Глюк замкнул ключ и медленно заполнил все пространство между обкладками конденсатора диэлектрическим веществом, при этом в цепи выделилось количество теплоты Q = 2 мДж. Затем Глюк разомкнул ключ и полностью медленно удалил диэлектрическое вещество, совершив работу А = 14 мДж (см. рис. 2). Определите диэлектрическую проницаемость вещества.

Решение.  Обозначим напряжение батарейки U, емкость плоского конденсатора без диэлектрического вещества – С. При помещении в конденсатор диэлектрического вещества емкость конденсатора увеличивается и становится равной – С, где – диэлектрическая проницаемость вещества. Заряд конденсатора также увеличивается:

= U C = U ( ) = CU ( , (1)

При этом сторонние силы совершают работу:

А_ист = U = CU² ( . (2)

Согласно закону сохранения энергии:

A_ист = W_э2 − W_э1 + Q, (3)

W_э1 = , W_э2 = – энергии, запасенная конденсатором в исходном состоянии и после помещения в него диэлектрического вещества (при замкнутом ключе К).

Подставляя (1) в (2) и (3) выразим Q:

Q = CU²( + − = ( . (4)

После размыкания ключа К заряд конденсатора остается неизменным и равным q = СU. Энергия, запасенная конденсатором W_э = = . После удаления диэлектрического вещества, запасенная в нем энергия становится равной W_э^´ = = . Увеличении энергии конденсатора происходит за счет работы, совершаемой внешними силами. Так как извлечение вещества происходит медленно, то можно записать закон сохранения энергии в следующем виде:

A = W_э´ − W_э = − = ( . (5)

Используя (4), преобразуем (5) к виду:

A = (6)

= 7.

Ответ: = 7.

Задачи для самостоятельного решения

1. ( Решу ЕГЭ) Незаряженный конденсатор емкостью С = 0,1 мкФ подключают к источнику тока с ЭДС Ɛ = 12 В по схеме, показанной на рисунке. Сопротивление резистора R = 500 Ом, сопротивлением проводов и внутренним сопротивлением источника тока можно пренебречь. Какое количество теплоты Q выделится на резисторе после замыкания ключа К в процессе зарядки конденсатора?

Ответ: Q = CƐ² = 7,2 мкДж.

1. ( Решу ЕГЭ) В цепи, изображённой на рисунке, ЭДС батареи равна 100 В, сопротивления резисторов R₁ = 10 Ом и R₂ = 6 Ом, а ёмкости конденсаторов  C₁ = 100 мкФ и  C₂ = 60 мкФ. В начальном состоянии ключ К разомкнут, а конденсаторы не заряжены. Через некоторое время после замыкания ключа в системе установится равновесие. Какое количество теплоты выделится в цепи к моменту установления равновесия?

Ответ: Q = C₁Ɛ² = 0,5 Дж.

1. ( Гиголо) Заряженный конденсатор С₁ = 1 мкФ включен в последовательную цепь из резистора R = 300 Ом, незаряженного конденсатора С₂ = 2 мкФ и разомкнутого ключа К (см. рис.). Какое количество теплоты выделяется в цепи после замыкания ключа, если первоначальное напряжение на конденсаторе С₁ равно 300В?

Ответ: Q = 30 Мдж.

1. ( Отличник ЕГЭ - 3.1.19). Два конденсатора, заряженные до одного и того же напряжения, имеют энергии W₁ = 10⁻³ Дж и W₂ = 3· 10⁻³ Дж. Разноименно заряженные обкладки конденсаторов соединили с помощью двух проводников. Какая энергия W выделилась при разрядке конденсаторов?

Ответ: W = = 3 · 10 ⁻³ Дж.

1. ( Физика. 11 класс. А. В. Грачев) Определите количество теплоты, которое выделится на резисторе R после переключения ключа К из положения 1 в положение 2 в схеме, показанной на рис. Потерями энергии на излучение пренебречь.

Ответ: Q = .

Список литературы.

1. Грачев А.В. Физика: 11 класс: базовый уровень; профильный уровень: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.В. Грачев, В.А., Погожев, А.М. Салецкий и др. – М.: Вентана-Граф, 2012.

2. ЕГЭ. 1000 задач с ответами и решениями / М.Ю. Демидова, В. А. Грибов, А.И. Гиголо. – М.: Издательство «Экзамен», 2017.

3. Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач. Под ред. В.А. Макарова, М.В. Семенова, А.А. Якуты; ФИПИ.- М.: Интеллект_Центр, 2010.

4. Решу ЕГЭ - https://phys-ege.sdamgia.ru/