Подготовка к ОГЭ 9класс математика.2019г. Разбор и решение текстовых задач.

Подготовка к ОГЭ 9класс математика.2019г

Сборник

Разбор и решение текстовых задач.

Задание 22

1.Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда, его скорость по течению равна x+5 км/ч, а против течения x-5 км/ч. Сначала теплоход идет по течению реки 80 км, на которые он затратил  часов. Затем, он стоит 23 часа, после чего движется в обратном направлении  часов. В сумме он затратил на весь путь 35 часов. Получаем уравнение:

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:

Так как скорость теплохода не может быть отрицательным числом, то получаем ответ 15 км/ч.

Ответ: 15.

2.Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 24 км/ч, стоянка длится 9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.

Решение.

На путь теплоход тратит 27-9=18 часов
пусть х скорость теплохода , тогда скорость по течению (х+4) км /ч
против течения (х-4)км/ч

210/(х+4)  + 210/(х-4)=18

210*(х-4) +210*(х+4)=18*(х+4)(х-4)

210х-(210*4)+210х+(210*4)=18х²- 288

18х²-420х- 288 =0 сократим на 6

3х²-70х- 48=0

D=4900+576 =5476         √D=74

x=(70+74)/6= 24

x=(70-74)/6=-2/3 не подходит 

Ответ : 24 км/ч

3.Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления , затратив на обратный путь на 5 часов меньше , чем на путь против течения . Найдите скорость лодки в неподвижной воде , если скорость течения реки равна 5 км / ч.

Решение.

Пусть х км/ч скорость лодки в неподвижной воде, тогда (х+5)км/ч - скорость лодки по течению реки, (х-5)км/ч - скорость лодки против течения реки. 208/(х+5)ч-время, затраченное на путь по течению реки, 208/(х-5)ч время, затраченное на путь против течения реки. По условию задачи, лодка на путь по течению затратила 5 меньше, чем на путь против течение реки, значит :

208/(х-5)-208/(х+5)=5
208*(х+5)-208*(х-5)=5*(х-5)*(х+5)
х≠-5, х≠5
208х+1040-208х+1040=5х²-125
5х²=1040+1040+125
5х²=2205
х²=441
х=21и х=-21-не удовл.
21км/ч - скорость лодки в неподвижной воде 
Ответ: 21км/ч

4.Моторная лодка прошла против течения реки 132км и вернулась в пункт отправления , затратив на обратный путь на 5 часов меньше,чем на путь против течения . Найдите скорость лодки в неподвижной воде ,если скорость течения реки равна 5км/ч.

Решение.

Пусть скорость лодки х км/ч. - против течения будет х-5. а по течению х+5
по условию 
132/(х-5)-132/(х+5)=5
решаем уравнение
(132*(х+5)-132*(х-5))/(х-5)(х+5)=5
(132х+660-132х+660)/( х²-25)=5
1320/( х²-25)=5
х²-25=1320:5
х²=264+25
х²=289

х=17и х=-17-не удовл.

х=17 км/ч - искомая скорость лодки
Ответ: 17 км/ч

5.Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение.

Обозначим через x деталей в час – производительность второго рабочего, тогда первый рабочий выполняет x+9 деталей в час. Известно, что 112 деталей первый выполняет быстрее, чем второй, то есть

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем:

Так как выработка не может быть отрицательным числом, получаем производительность второго рабочего 12 деталей в час.

Ответ: 12.

6. Два велосипедиста одновременно отправляются в пробег протяжённостью 208 км. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость первого велосипедиста. Тогда скорость второго будет равна x-3 км/ч. Путь в 208 км первый проходит за  часов, а второй за  часов. Известно, что разница во времени прибытия на финиш составляет 3 часа. Получаем уравнение:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем:

Имеем одно положительное значение x=16 км/ч. Это скорость первого велосипедиста. Скорость второго равна 16-3=13 км/ч.

Ответ: 13.

7.Расстояние между поселками А и Б 35 км два велосепидиста одновременно выезжают из А в Б первый едет со скоростью на 7 км в час больше чем второй найдите скорость второго велосипедиста если он приезжает в Б на 50 мин позже первого велосипедиста.

Решение.

второй велосипедист едет со скоростью х км/ч

Тогда первый со скоростью х+7 км/ч

50 минут =50/60 часа=5/6 часа

первый велосипедист ехал 35/(x+7) часов, а второй 35/x часов

составляем уравнение

5x(x+7)=6*245

x(x+7)=294

x²+7x-294=0

D=7²+4*294=1225

√D=35

x₁=(-7-35)/2=-21 отбрасываем посторонний корень

x₂=(-7+35)/2=14 км/ч

Ответ 14

8.Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 200 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение.

Пусть x (деталей в час) - делает второй рабочий.

Тогда первый рабочий делает x+5 деталей в час.

Так как заказ, состоящий из 200 деталей, первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ, то составим и решим уравнение:

200/x - 200/(x+5) = 2,

200(x+5) - 200x = 2x(x+5),

2x² + 10 x - 1000 = 0,

x² + 5 x - 500 = 0,

x1 = 20, x2 = -25.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 20.

Ответ: 20.

9.Три бригады изготовили вместе 114 деталей. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 3 раза больше, чем первая, и на 16 деталей меньше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила третья бригада, чем первая. 

Решение.

Пусть x (деталей) - изготовила 1 бригада, y (деталей) - изготовила 2 бригада, z (деталей) - изготовила 3 бригада.

Нужно найти: z-x.

Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 3 раза больше, чем первая, то есть

y = 3x, откуда следует, что x = y/3.

Также по условию 2 бригада изготовила на 16 деталей меньше, чем 3, поэтому

y = z-16, откуда следует, что z = y +16.

И так как всего три бригады изготовили 114 деталей, то получаем еще одно уравнение:

x+y+z = 114.

Подставим в последнее уравнение полученные ранее выражения переменных x и z  через переменную y. Получим:

(y/3)+y+(y+16) = 114,

(y/3) +2y = 98,

умножим последнее уравнение на 3:

y+6y = 294,

7y = 294,

y = 42,

находим остальные переменные:

x = y/3 = 42/3 = 14,

z = y+16 = 42+16 = 58.

Тогда z - x = 58-14 = 44.

Ответ: 44.

10.Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 100 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?

Решение.

Пусть x (л/мин) - пропускает первая труба (скорость заполнения резервуара первой трубой).

Тогда скорость заполнения второй трубой резервуара равна (x+15) (л/мин).

100/x - время заполнения резервуара объемом 100 литров первой трубой.

100/(x+15) - время заполнения резервуара объемом 100 литров второй трубой.

Так как резервуар объемом 100 литров первая труба заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба, то составим и решим уравнение:

100/x - 100/(x+15) = 6,

умножим все уравнение на x(x+15):

100(x+15) - 100x = 6x(x+15),

1500 = 6x(x+15),

250 = x² +15x,

x² +15x - 250 = 0,

x1 = 10, x2 = -25.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 10.

Ответ: 10.

11.Из го­ро­дов А и В нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли мо­то­цик­лист и велосипедист. Мо­то­цик­лист при­е­хал в В на 42 ми­ну­ты раньше, чем ве­ло­си­пе­дист при­е­хал в А, а встре­ти­лись они через 28 минут после выезда. Сколь­ко часов за­тра­тил на путь из В в А велосипедист?

Решение.

Пусть — ско­рость мотоциклиста, — ско­рость велосипедиста. При­мем рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми за единицу. Мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист встре­ти­лись через 28 минут, то есть через часа, после выезда, по­это­му Мо­то­цик­лист при­был в B на 42 минуты раньше, чем ве­ло­си­пе­дист в А, от­ку­да По­лу­ча­ем си­сте­му уравнений:

Скорость мо­то­цик­ли­ста не может быть отрицательной, по­это­му ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна , а время, за­тра­чен­ное на весь путь равно 1,4 часа.

Ответ: 1,4.

12. Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость третьего велосипедиста. Перед выездом третьего велосипедиста первый ехал уже 2 часа и проехал 42 км, а второй ехал 1 час и проехал 15 км. Скорость сближения третьего со вторым равна x-15 км/ч. Следовательно, третий догнал второго через  часов. Скорость сближения третьего с первым равна x-21 и он догнал его через  часов. Так как третий догнал первого через 9 часов после того, как он догнал второго, можно записать равенство:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни:

Так как скорость третьего велосипедиста не может быть меньше, чем у второго 15 км/ч, то получаем решение x = 25 км/ч.

Ответ: 25.

13. Два автомобиля одновременно отправляются в 950-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 18 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля равна x-18 км/ч. Первый проезжает путь в 950 км за  часов, а второй за  часов. Так как первый прибывает на 4 часа раньше второго, получаем уравнение:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение:

Имеем только один положительный корень x=75 км/ч.

Ответ: 75.

14.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Скорость обгона пешехода поездом, равна. км/ч. С этой скоростью поезд обгонял пешехода в течении 12 секунд, то есть в течении часа. Следовательно, длина поезда есть. км. что составляет 450 метров. Ответ: 450.

15.Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 69 км/ч, а вторую — со скоростью 111 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение.

Среднюю скорость можно найти по формуле. , где S – весь пройденный путь; t – время, за которое был пройден этот путь. Пусть половина пути, условно, это 1, тогда весь путь S=1+1=2. Время прохождения автомобилем первой половины пути, равно. часов, а второй половины. часов. Итого, суммарное время в пути. часов. Таким образом, средняя скорость автомобиля равна.

Ответ: 85,1.

16.Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 83% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть x% - концентрация первого раствора и y% - концентрация второго раствора. Тогда величину кислоты, содержащейся в первом растворе можно определить как , а во втором растворе как . В задаче сказано, что если объединить эти два раствора, то получится раствор 81% кислоты, то есть величина кислоты в объединенном растворе будет равна . Имеем уравнение

.

Также в задаче сказано, что при равных объемах растворов получается раствор 83% кислоты, то есть можно записать, что

Получаем систему двух уравнений:

Умножим второе уравнение на 30

и вычтем из первого, получим:

Таким образом, второй раствор имеем концентрацию 93% и кислоты во втором растворе равно

 кг.

Ответ: 18,6.

17.Имеются два сосуда содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации Если их слить вместе то получим раствор содержащий 65% кислоты Если же слить равные массы этих растворов то полученный раствор будет содержать 60% кислоты Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе.

Пусть концентрация первого раствора х%, а второго у%.В первом растворе содержится 12х/100 кг кислоты, а во втором 8у/100 кг.Если их слить, то в полученном растворе окажется 12х/100+8у/100 кг.С другой строны мы получим 12+8=20 кг 65% раствора. В нем 20*65/100=13 кг кислоты. Получаем уравнение 12х/100+8у/100 =1312х+8у=1300Теперь будем сливать одинаковые массы растворов, например по 1 кг.В первом растворе окажется х/100 кг кислоты, во втором у/100 кг.В итоговом растворе будет 2*60/100=1,2кгПолучаем уравнениех/100+у/100=1,2х+у=120Итак мы получили систему уравнений 12х+8у=1300х+у=120Решаемх=120-у12(120-у)+8у=13001440-12у+8у=130012у-8у=1440-13004у=140у=35%

Решение:

Пусть x % — концентрация «чистой кислоты» в первом сосуде, тогда масса «чистой кислоты» в первом сосуде равна 12·x/100 = 0,12x кг.

Пусть y % — концентрация «чистой кислоты» во втором сосуде, тогда масса «чистой кислоты» во втором сосуде равна 8·y/100 = 0,08y кг.

После того, как их слили вместе, то масса раствора кислоты стала равна 12 + 8 = 20 кг, а концентрация «чистой кислоты» стала 65 %, то масса «чистой кислоты» в этом растворе равна 20·65/100 = 13 кг.

Получим 1 уравнение системы: 0,12x + 0,08y = 13 или 12x + 8y = 1300.

Пусть в сосудах содержаться равные массы растворов кислоты, например, по 1 кг.

Тогда масса «чистой кислоты» в первом сосуде равна 1·x/100 = 0,01x кг, масса «чистой кислоты» во втором сосуде равна 1·y/100 = 0,01y кг.

После того, как их слили вместе, то масса раствора кислоты стала равна 1 + 1 = 2 кг, а концентрация «чистой кислоты» стала 60 %, то масса «чистой кислоты» в этом растворе равна 2·60/100 = 1,2 кг.

Получим 2 уравнение системы: 0,01x + 0,01y = 1,2 или x + y = 120.

Решим систему уравнений:

Умножим второе уравнение системы на 12 и вычтем его из первого, т. е.

4y = 140

y = 35 % — концентрация «чистой кислоты» во втором сосуде. Найдем массу «чистой кислоты» во втором сосуде: 0,08y = 0,08·35 = 2,8

Ответ: 2,8

18.Баржа прошла по течению реки 80 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение.

Обозначим через x км/ч собственную скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению составит x+5 км/ч, а против течения x-5 км/ч. Так как по течению баржа прошла 80 км, то на весь этот путь она затратила  часов. Против течения баржа прошла 60 км, следовательно, ее время составило  часов. В задаче сказано, что на весь путь было затрачено 10 часов, получаем уравнение:

Упрощаем выражение, имеем:

Решаем квадратное уравнение, получаем два решения:

Так как собственная скорость баржи не может быть отрицательным числом, то остается одно значение 15 км/ч.

Ответ: 15.

19. Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение.

Пусть x км/ч – собственная скорость баржи. Так как течение реки составляет 5 км/ч, то скорость баржи по течению будет равна x+5 км/ч, а против течения – x-5 км/ч. В задаче сказано, что сначала баржа шла по течению 32 км, следовательно, она затратила на этот путь  часов.  Против течения она прошла 24 км за  часов. Так как общее время в пути составило 4 часа, то имеем следующее уравнение:

,

откуда

.

Разделим обе части уравнения на 4 и учитывая, что , имеем:

Решаем через дискриминант квадратное уравнение, получаем два значения:

Так как скорость баржи величина положительная, остается одно значение 15 км/ч.

Ответ: 15.

20. Игорь и Паша красят забор за 10 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 15 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Решение.

Обозначим через x забор/час скорость покраски забора Игорем, за y забор/час – скорость покраски забора Пашей, и за z забор/час – скорость покраски забора Володей. Из задачи следует, что суммарная скорость покраски забора Игорем и Пашей составляет 1/10, то есть

.

Суммарная скорость покраски забора Пашей и Володей, равна , и суммарная скорость покраски забора Игорем и Володей, составляет . Получаем систему из трех уравнений:

Складывая все три уравнения, получаем

или в виде

,

то есть все втроем они покрасят забор за 9 часов, что составляет  минут.

Ответ: 540.

21. Игорь и Паша красят забор за 12 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 15 часов, а Володя и Игорь — за 20 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

Решение. Пусть за  часов красит забор Игорь, за  часов красит забор Паша и за  часов красит забор Володя. Весь забор условно примем за 1. Тогда скорость покраски забора Игорем составит , Пашей , а вдвоем они красят забор со скоростью . Получаем уравнение

.

Аналогично получаем для Паши и Володи

и для Володи и Игоря

.

Имеем систему из трех уравнений

Складывая все эти три уравнения, имеем:

То есть втроем они покрасят забор за 10 часов.

Ответ: 10.

22. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение.

Пусть скорость велосипедиста из точка А в точку В равно x км/ч. Тогда на пути из В в А его скорость составит x+8 км/ч. Время, которое велосипедист затратил из А в В, проехав 209 км, равно  часов, а время для преодоления того же расстояния из В в А составило  часов. В задаче сказано, что при движении из B в A велосипедист сделал остановку на 8 часов, и в результате время, затраченное на путь из A в B оказалось равным времени, которое он затратил из B в A. Получаем уравнение:

,

откуда имеем:

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант, получим:

Так как скорость велосипедиста положительная величина, получаем значение 11 км/ч.

Ответ: 11.

23. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение.

Пусть скорость велосипедиста из точка А в точку В равно x км/ч. Тогда на пути из В в А его скорость составит x+8 км/ч. Время, которое велосипедист затратил из А в В, проехав 209 км, равно  часов, а время для преодоления того же расстояния из В в А составило  часов. В задаче сказано, что при движении из B в A велосипедист сделал остановку на 8 часов, и в результате время, затраченное на путь из A в B оказалось равным времени, которое он затратил из B в A. Получаем уравнение:

,

откуда имеем:

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант, получим:

Так как скорость велосипедиста положительная величина, получаем значение 11 км/ч.

Ответ: 11.

24.Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 112 км. Отдохнув он отправился обратно в А, увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал остановку на 4 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение:

Пусть x км/ч – скорость велосипедиста из города А в город В, тогда для прохождения 112 км велосипедист затратит

 часа.

На обратном пути велосипедист увеличил скорость на 9 км/ч, то его скорость из города В в город А равна x + 9 км/ч и для прохождения 112 км велосипедист затратит

 часа.

Так как на обратно пути велосипедист сделал остановку на 4 ч, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В, получим уравнение

Учитывая, что x ≠ 0, x ≠ — 9, умножим обе части уравнения на x(x + 9), получим

112·(x + 9) = 112·x + 4·x(x +9)

Раскроем скобки и приравняем к нулю:

112x + 1008 – 112x – 4x² – 36x = 0

4x² + 36x – 1008 = 0

x² + 9x – 252 = 0

D = b² – 4ac

D = 9² — 4·1·(-252) = 81 + 1008 = 1089

Первый ответ не подходит из физических соображений, поэтому скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Ответ: 12

25.Расстояние между пристанями А и В равно 90 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, тогда ее скорость по течению реки равна x + 4 км/ч. Лодка прошла по течению реки 90 км, затратив на этот путь

 часа.

Скорость лодки против течения реки равна x – 4 км/ч, она прошла против течения реки 90 км, затратив  на этот путь

Моторная лодка, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 52 км, его скорость совпадает со скоростью течения реки, т. е. 4 км/ч, тогда на этот путь плот затратил 52/4 = 13 ч. Так как лодка отправилась на 1 час позже, то в пути она была 13 – 1 = 12 ч., получим уравнение:

Учитывая, что x ≠ — 4, x ≠ 4, умножим обе части уравнения на (x + 4)(x – 4), получим

90·(x – 4) + 90·(x + 4) = 12·(x² – 16)

Раскроем скобки и приравняем к нулю:

90x – 360 + 90x + 360 – 12x² + 192 = 0

12x² – 180x – 192 = 0

x² – 15x – 16 = 0

D = b² – 4ac

D = (-15)² — 4·1·(-16) = 225 + 64 = 289

Первый ответ не подходит из физических соображений, поэтому собственная скорость лодки равна 16 км/ч.

Ответ: 16

26.Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, тогда ее скорость по течению реки равна x + 5 км/ч. Лодка прошла по течению реки 60 км, затратив на этот путь

 час.

Скорость лодки против течения реки равна x – 5 км/ч, она прошла против течения реки 60 км, затратив  на этот путь

 часа.

Моторная лодка, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км, его скорость совпадает со скоростью течения реки, т. е. 5 км/ч, тогда на этот путь плот затратил 30/5 = 6 ч. Так как лодка отправилась на 1 час позже, то в пути она была 6 – 1 = 5 ч., получим уравнение:

Учитывая, что x ≠ — 5, x ≠ 5, умножим обе части уравнения на (x + 5)(x – 5), получим

60·(x – 5) + 60·(x + 5) = 5·(x² – 25)

Раскроем скобки и приравняем к нулю:

60x – 300 + 60x + 300 – 5x² + 125 = 0

5x² – 120x – 125 = 0

x² – 24x – 25 = 0

D = b² – 4ac

D = (-24)² — 4·1·(-25) = 576 + 100 = 676

Первый ответ не подходит из физических соображений, поэтому собственная скорость лодки равна 25 км/ч.

Ответ: 25

27. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 2 минуты, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 277 км, скорость первого велосипедиста равна 16 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение.

Обозначим через x км – расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до точки встречи. Тогда первый велосипедист проехал 277-x км. Время, которое потратил второй велосипедист в пути, составило  часов, а первого –  часа. Так как оба велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу, то к моменту их встречи они находились в пути одинаковое время. Имеем уравнение:

.

Упрощаем, находим x, получаем:

То есть второй велосипедист проехал 181 км до момента встречи с первым велосипедистом.

Ответ: 181.

28.Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 26 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 217 км, скорость первого велосипедиста равна 21 км/ч, скорость второго – 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист до места встречи.

Решение:

Пусть x км — расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист до места встречи,

тогда 217 – x км — расстояние от города, из которого выехал первый велосипедист до места встречи.

Скорость первого велосипедиста равна 21 км/ч и он сделал остановку на 26 мин = 13/30 ч, то на путь до места встречи он затратил

217−x21 +1330  217−x21+1330 часа.

Скорость второго велосипедиста равна 30 км/ч, то на путь до места встречи он затратил

x30  x30 часа.

Получим уравнение

217−x21 +1330 =x30  217−x21+1330=x30

Умножим обе части уравнения на 210, получим

10·(217 – x) + 7·13 = 7·x

2170 – 10x + 91 = 7x

17x = 2261

x = 133

Таким образом, расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист до места встречи равно 133 км.

Ответ: 133

29. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

Решение.

Пусть x км/ч скорость первого бегуна, тогда скорость второго x+5 км/ч. Известно, что спустя 45 минут (3/4 часа) второй бегун пробежал один круг, то есть длина круга  км. Первому бегуну через час бега оставалось пробежать еще 1 км до окончания круга, то есть за час он пробежал  км. Эта величина также равна и скорости первого бегуна, так как она показывает расстояние, пройденное за 1 час. В то же время, скорость первого бегуна обозначена как x км/ч, следовательно,

,

откуда имеем:

То есть скорость первого бегуна 11 км/ч.

Ответ: 11.

30.Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов спустя один час когда одному из них оставалось 7 километров до окончания первого круга ему сообщили что 2 бегун прошел первый круг 3 минуты назад найдите скорость первого бегуна если известно что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

Решение .

1. Скорость второго бегуна равно х км/ч.

2. Скорость первого бегуна равно (х - 8) км/ч.

3. Определим сколько километров пробежал второй бегун.

(х - 8) * 1 = (х - 8) км.

4. Определим сколько километров один круг трассы, который пробежал второй бегун.

Для этого переведем 3 минуты в часы: 3 / 60 = 1 / 20 = 0,05 ч.

х * (1 - 0,05) = 0,95х км

5. Составим и решим уравнение:

0,95х - (х - 8) = 7;

0,95х - х + 8 = 7;

8 - 7 = х - 0,95х;

1 = 0,05х;

х = 1/0,05;

х = 20;

6. Скорость второго бегуна равна 20 км/ч.

7. Какая скорость у первого бегуна?

х - 8 = 20 - 8 = 12 км/ч.

Ответ: Скорость первого бегуна 12 км/ч.

 31.Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов?

Решение.

Пусть  кг фруктов требуется для приготовления 21 кг высушенных фруктов. Так как в фруктах содержится 93% воды, то процент сухого вещества составляет 100-93=7%, и в x кг сухого вещества равно

 кг.

Масса сухого вещества в высушенных 21 кг фруктах составляет 100-16=84% и равна  кг. По условию задачи величина , откуда находим:

 кг.

Ответ: 252.

32.Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные – 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Решение.

Высушенные фрукты содержат 30 % воды, следовательно, 100 % — 30 % = 70 % приходится на «сухое вещество» в высушенных фруктах, найдем массу «сухого вещества» в высушенных фруктах:

72 кг высушенных фруктов составляет 100 %, а

x кг «сухого вещества» в высушенных фруктах составляет 70 %, получим

72x =10070  72x=10070

x=72⋅70100 =50,4 x=72⋅70100=50,4

Масса «сухого вещества» в высушенных фруктах и свежих фруктах остается постоянной.

Свежие фрукты содержат 88 % воды, следовательно, 100 % — 88 % = 12 % приходится на «сухое вещество» в свежих фруктах, найдем массу свежих фруктов:

50,4 кг «сухого вещества» в свежих фруктах составляет 12 %, а

y кг свежих фруктов составляет 100 %, получим

50,4y =12100  50,4y=12100

x=50,4⋅10012 =420 x=50,4⋅10012=420

Следовательно, для приготовления 72 кг высушенных фруктов потребуется 420 кг свежих фруктов.

Ответ: 420