Подготовка учащихся к олимпиаде по математике

Тема: Подготовка к различным олимпиадам по математике.

Выполнила: Бахмудова Марзи Магомедовна Учитель математики. МКОУ «Калкнинская средняя общеобразовательная школа.»

Олимпиадная задача, как правило, это задача повышенной трудности,

нестандартная по формулировке, так и по методам решения.

Среди них встречаются как нетривиальные, для решения которых требуются необычные идеи и специальные методы,

так и задачи более стандартные,

которые могут быть решены оригинальным методом.

1. Расставьте числа 1, 2, 3, …,10 по кругу так, чтобы разность любых двух соседей была равна 2 или 3.

1. Ответ: 1, 3, 6, 9, 7, 10, 8, 5, 2, 4 (в круге).

2. Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых равно 20

2. Ответ: 1,1,1,1,1,1,1,1 (восемь единиц), 2,10 Решение: 1+1+1+1+1+1+1+1+2+10=20, 1*1*1*1*1*1*1*1*2*10=20

Квадрат 4х4 разделен на 16. клеток. Раскрасьте эти клетки в черный и белый цвета так, чтобы у каждой черной клетки было три белых соседа, а у каждой белой клетки был ровно один черный сосед

Подсказка Белых клеток втрое больше, чем черных. Решение. Заметим , что белых клеток должно быть втрое больше чем черных, так что белых будет 12, а черных-4, После этого легко нарисовать требуемую картину.

3. В коробке лежат синие , красные и зеленые карандаши. Всего 20 штук. Синих в 6 раз больше, чем зеленых, красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей?

3. Решение. Путем подбора зеленых 1) Если 1 зеленый, то синих 6, а красных 20-6-1=13, что нам не подходит поскольку их больше чем синих, а по условию должно быть меньше. 2) Если 2 зеленых, то синих 12, а красных 20-2-12=6 что нас вполне устраивает. Ответ: 6.

4. Числитель и знаменатель дроби - положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель - на 100. Может ли полученная дробь оказаться больше исходной?

4. Ответ: Да. Например, 1/200

Сколько различных трехзначных чисел мо жно составить из цифр1, 2, 3 и 4, так чтобы цифры в записи числа не повторялись?

В стакане сидят 2 бактерии. Через каждые 8 часов, каждая бактерия делится на две новые. Через сколько суток, количество бактерий впервые станет больше 1000? А) 1 Б) 2 В) 3

Ответ: В) 3 .

5. Как разложить гирьки весом 1, 2, 3,…,9 г в три коробочки так, чтобы в первой была две гирьки, во второй три, в третьей четыре, а суммарный вес гирек в коробочках был одинаковым.

5. Ответ: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 45/3=15 1)7+8=15 2)4+5+6=15 3)1+2+3+9=15

6. В треугольнике АВС провели медиану Ам. Найдите угол АМС, если углы ВАС и ВСА равны 45 и 30 градусов соответственно.

6. Ответ: 135 Решение. Пусть ВН-высота треуг-ка АВС . По условию угол ВАС=45, поэтому ВН=АН. В треуг-ке СВН катет ВН лежит против угла 30 градусов, поэтому ВС=2ВН. Медиана НМ прямоугольного треуг-ка ВНС равна половине гипотенузы ВС. Собирая все равенства отрезков воедино, получаем АН=ВН=НМ=МВ=МС. Кроме того, треуг-к АНМ-равнобедренный, его угол АНМ равен 90+60=150, поэтому угол АМН=15 гр. Таким образом, АМС=АМН+НМС=120+15=135.

3.Пример наглядной задачи

Поль выиграл футболку, на которой написано слово . Он надел ее и подошел к зеркалу. Какую запись он увидел?

(A) (B) (C) (D) (E)

10. Правильную пирамиду с квадратом в основании разрезали пополам плоскостью, а потом половинки сложили так, что заштрихованные треугольники совпали. Тело, которое получилось, имеет

(A) 4 грани

(B) 5 граней

(C) 6 граней

(D) 7 граней

(E) 8 граней

7. Замок Персиваля имел квадратную форму. Однажды Персиваль решил расширить свои владения и добавил к замку квадратную пристройку. В результате периметр замка увеличился на 10% . На сколько процентов увеличилась площадь замка?

7. Ответ: 4% Решение. Пусть ширина замка равна а, а ширина пристройки равна в.Тогда первоначальный P=4a, а итоговый P=4a+2b. Тогда: 1,1*4a=4a+2b  b=0,2а. Отсюда S=a^2+(0,2a)^2=1,04a^2, то есть площадь увеличилась на 4%.

4. Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы . Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей , и за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собирается менять?

4. Решение: Если у туриста было Х рублей, то в банке ОГОГО он получит за них (Х-7000/3000 тугриков, а в банке ЙОХОХО Х/3020 -1, получаем Х=604000(руб.).

8. В трехзначном числе первую цифру (разряд сотен ) увеличили на 3, вторую – на 2, третью – на 1. В итоге число увеличилось в 4 раза. Приведите пример такого исходного числа.

8. Ответ: 107. Решение. Пусть х – искомое число. Тогда условие задачи мгновенно приводит к уравнению х+321=4х, единственным решением которого служит х=107.

9. 45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей. Сколько конфет можно купить на 50 рублей?

9. Ответ: 75 конфет. Решение: Пусть х- стоимость одной конфеты в рублях. Тогда 45х=20/х, откуда х=2/3. Тогда на 50 рублей можно купить 50/х=75 конфет.

Пол в гостиной борона Мюнхгаузена вымощен одинаковыми квадратными каменными плитами. Борон утверждает, что его новый ковер (сделанный из одного куска ковролина) закрывает ровно 24 плиты и при этом каждый горизонтальный ряд плит в гостиной содержит ровно 4 плиты, покрытых ковром. Не обманывает ли борон?

Спасибо!