Подобные треугольники

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

ПЛАН

• Пропорциональные отрезки.
• Свойство биссектрисы треугольника.
• Определение подобных треугольников.
• Отношение периметров подобных фигур.
• Отношение площадей подобных фигур.
• Признаки подобия треугольников .

Пропорциональные отрезки

B

A

• Отношением отрезков называется отношение их длин.
• Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 , , если

D

C

D

С

B

A

A 1

С 1

B 1

D 1

ПРИМЕР

ПРИМЕР

• Даны два прямоугольных треугольника

Стороны Β C и CA пропорциональны MN и MK , так как

B

5

3

и

A

C

4

N

т.е.

?

15

K

НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

M

20

Пропорциональность отрезков

• Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков.

B

5

например

3

C

A

4

N

25

15

K

M

20

Подобные фигуры

Предметы одинаковой формы, но разных размеров

Здание и его макет

Планы, географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах.

Фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями;

Подобные фигуры

• В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами

Подобными являются любые два квадрата

Подобными являются любые два круга

два шара

два куба

Подобные треугольники

• Даны два треугольника A Β C и A 1 Β 1 C 1 ,

у которых  A =  A 1 ,  Β =  Β 1 ,  C =  C 1 .

Стороны A Β и A 1 Β 1 , AC и A 1 C 1 , Β C и Β 1 C 1 , лежащие против равных углов, называют сходственными

Β 1

Β

A

A 1

C

C 1

Определение

• Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого .

Β

Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1

 A =  A 1 ,  Β =  Β 1 ,  C =  C 1 .

Β 1

A

C

A 1

C 1

Коэффициент подобия

Β

Δ A Β C ∞ Δ A 1 Β 1 C 1

Β 1

A

C

A 1

C 1

k – коэффициент подобия .

• Число k , равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия .

Дополнительные свойства

• Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
• Отношение медиан подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
• Отношение биссектрис подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.

Отношение периметров

Β

Β 1

Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1

A

C

A 1

C 1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

• Отношение периметров подобных треугольников равно
• коэффициенту подобия .

Отношение периметров

Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1

Β

Β 1

A

C

A 1

C 1

Выносим общий множитель за скобку и сокращаем дробь.

Отношение площадей

Β

Β 1

Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1

A

C

A 1

C 1

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Отношение площадей

Пусть Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 ,

коэффициент подобия k

Β

Β 1

A

C

 A =  A 1 , по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем

A 1

C 1

Свойство биссектрисы треугольника

A

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

ПРИМЕР

B

D

C

или

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Свойство биссектрисы треугольника

A

• Δ ABD и Δ ACD имеют общую высоту AH
• Δ ABD и Δ ACD имеют равные углы  1 =  2

2

1

B

C

D

H

ИМЕЕМ

14 см

2 1 см

Свойство биссектрисы треугольника

Дано: Δ ABC

AD – биссектриса

AB = 14 см

BC = 20 см

AC = 21 см

Найти: BD , CD .

Решение:

A

2

1

C

B

D

2 0 см

14 см

2 1 см

Свойство биссектрисы треугольника

Решение:

Пусть BD = x см,

тогда CD = (2 0 – x ) см.

По свойству биссектрисы треугольника

A

2

1

имеем

C

B

D

2 0 см

Решая уравнение, получим х = 8

BD = 8 см, CD = 12 см.

Признаки подобия треугольников

• Первый признак подобия треугольников.

(по двум углам)

• Второй признак подобия треугольников.

(по углу и двум пропорциональным сторонам)

• Третий признак подобия треугольников .

(по трем пропорциональным сторонам)

Первый признак подобия треугольников.

• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

C 1

C

A 1

A

B 1

B

Первый признак подобия треугольников.

Дано:

Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 ,  A =  A 1 ,

 B =  B .

Доказать:

Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

Доказательство:

C

A

B

C 1

A 1

B 1

Первый признак подобия треугольников.

Доказательство:

•  A =  A 1 ,  B =  B 1 .

 C = 180 º –  A –  B ,

 C 1 = 180 º –  A 1 –  B 1 .

 C =  C 1

Таким образом углы треугольников соответственно равны.

C

A

C 1

B

A 1

B 1

Первый признак подобия треугольников.

Доказательство:

•  A =  A 1 ,

 B =  B 1 .

Имеем

Аналогично, рассматривая равенство углов  C =  C 1 ,  A =  A 1 , получим

Итак, сходственные стороны пропорциональны.

Второй признак подобия треугольников.

• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Β

Β 1

A

C

A 1

C 1

Второй признак подобия треугольников.

Дано:

Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 ,

 A =  A 1 ,

Доказать:

Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

Доказательство:

Β

Β 1

A

C

A 1

C 1

С 2

1

2

Второй признак подобия треугольников.

С

Доказательство:

Достаточно доказать, что  B =  B 1 .

Δ ABC 2 ,  1=  A 1 ,  2=  B 1 ,

Δ ABC 2 ~ Δ A 1 B 1 C 1 по двум углам.

(из подобия).

По условию

AC = AC 2 .

Δ ABC = Δ ABC 2 , т.е.  B =  B 1 .

A

B

C 1

A 1

B 1

Третий признак подобия треугольников .

• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Β 1

Β

A 1

C 1

A

C

Третий признак подобия треугольников .

Дано:

Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 ,

Доказать:

Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

Доказательство:

Β 1

A 1

C 1

Β

A

C

С 2

1

2

Третий признак подобия треугольников .

С

Доказательство:

Достаточно доказать, что  A =  A 1

Δ ABC 2 ,  1=  A 1 ,  2=  B 1 ,

Δ ABC 2 ~ Δ A 1 B 1 C 1 по двум углам.

Отсюда

По условию

Δ ABC = Δ ABC 2 по трем сторонам, т.е.  A =  A 1

A

B

Β 1

A 1

C 1