Показательные уравнения

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Показательными уравнениями называют уравнения вида

где положительное число, причем , и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Можно выделить следующие основные методы решения показательных уравнений:

• Метод уравнивания показателей (он основан на теореме о том, что уравнение равносильно уравнению где );

• Метод разложения на множители;

• Метод введения новой переменной.

Пример 1: Решить уравнение на основе метода уравнивания показателей:

Решение: Задача – привести обе части уравнения к одинаковому основанию.

Например, можно привести к числу 2, так как

Получаем:

Основания равны, можно приравнивать показатели:

Ответ: 3.

Задание 1. Решить уравнения на основе метода уравнивания показателей:

1)

2)

3)

Пример 2: Решить уравнение на основе метода разложения на множители:

Решение: Выносим за скобки степень с наименьшим показателем (так как то есть совершаем операцию деления.

При делении основание степени остается прежним, а показатели степеней вычитаются:

Ответ: 1.

Пример 3: Решить уравнение на основе метода разложения на множители:

Решение: Выносим за скобки степень с наибольшим показателем (так как то есть совершаем операцию деления.

При делении основание степени остается прежним, а показатели степеней вычитаются:

Ответ:

Задание 2. Решить уравнения на основе метода разложения на множители:

1)

2)

Пример 4: Решить уравнения на основе метода введения новой переменной:

Решение: Пусть

Используем теорему Виета:

Получаем . Корень , исключаем его. Используем только корень .

Возвращаемся к замене:

Ответ: 0.

Задание 3. Решить уравнения на основе метода введения новой переменной:

1)

2)

2