Инструкционная карта № 14
Тақырыбы/ Тема: «Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств».
Мақсаты/ Цель: Познакомить учащихся с методами решения простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств. Уметь применять эти методы при решении упражнений.
Создать условия для развития умения устанавливать единые общие признаки и свойства целого, составлять план деятельности (сравнивать, анализировать).
Создать атмосферу коллективного поиска, эмоциональной приподнятости, радости познания трудностей.
Теоретический материал:
Основные методы и приемы решения показательных уравнений
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/10/27/s_5bd46f6db094b/979021_1.jpeg)
Пример 1. 3х2-х-2=81- Метод уравнивания показателей.
Решение:
3х2-х-2=34
Приравниваем показатели:
х2-х-2=4
х2-х-6=0
Получили квадратное уравнение:
D=1+24=25, D0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня
х1=(1+5)/2=3
х2=(1-5)/2=-2
Ответ: х=3 и х=-2
Пример 2. 4х+1+4х=320- Метод вынесения общего множителя за скобки
Решение:
В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:
4х(4+1)=3204х∙5=320
Представим 320 в виде 5∙43, тогда:4х∙5=5∙43
Поделим левую и правую часть уравнения на 5:4х=43
Приравняем показатели: х=3
Ответ: 3
Пример 3. 4х - 3·2х +2 = 0 - Метод замены переменных
Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке. 4х = (22)х = 22х
Получаем уравнение: 22х - 3·2х +2 = 0
А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.
Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2х) пишем другой, попроще (например - t).
Итак, пусть 2х = t. Тогда 22х = 2х2 = (2х)2 = t2
Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t: t2 - 3t+2 = 0
Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем: t1 = 2 ; t2 = 1
Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t1: t1 = 2 = 2х
Стало быть, 2х = 2; х1 = 1 Один корень нашли. Ищем второй, из t2: t2 = 1 = 2х ; 2х = 1
Гм... Слева 2х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит: 1 = 20 2х = 20 х2 = 0
Вот теперь всё. Получили 2 корня: х1 = 1 х2 = 0 - Это ответ.
Практические советы:
1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!
2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То, что можно посчитать в числах - считаем.
3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".
Рассмотрим решение показательных неравенств вида
, где b – некоторое рациональное число.
Если a1, то показательная функция
монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенство
равносильно неравенству
.
Если 0
монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенство
равносильно неравенству ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/10/27/s_5bd46f6db094b/979021_8.png)
Пример 4. Решим неравенство ![](https://fsd.multiurok.ru/html/2018/10/27/s_5bd46f6db094b/979021_9.png)
Запишем неравенство в виде
. Т. к.
, то показательная функция
возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству
. Ответ:
.
Пример 5. Решим неравенство
.
Запишем неравенство в виде
.
Показательная функция
убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х
Ответ:
.
Практическая часть:
I Вариант.
Решите уравнения:
а) 0,8
; б)
; в) 3
; г) 4
.
Решите неравенства:
а) 2
.
3. Решите систему уравнений:
.
II Вариант.
Решите уравнения:
а) 3
; б) 2
; в) 2
; г) 9
.
Решите неравенства.
а) 5
1; б) 0,7х.
3. Решите систему уравнений: .
III Вариант.
Решите уравнения:
а) 9-х=27; б)
; в) 5
; г) 9
.
Решите неравенства:
а) ![](data:image/png;base64,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)
; б) 4
8.
3. Решите систему уравнений: .
IV Вариант.
Решите уравнения:
а) 8-х=16; б) 102х=0,1
; в) 3
; г) 4
.
Решите неравенства:
а)
-0,5; б) 9![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAABMAAAALCAIAAAAStyFtAAAA9ElEQVR4nMWQz6pFUBTGrz+lDOXPrTMyEhkYMDOQvISH9AIGKDMvIBMDEgaiFCnlfB3qnFN3ZHK/wa79re+31t6LPo7j55boe9hFjuPYNI2u66eV53lVVZ7nURT1GS2KYl1XwzDeZBAEiqIAUFUV177vUQaGqCiKDMOwLAuf47gwDH9fushlWSRJKsvyJB+PR5IkpmkOw5CmqSzL+74jgO7TNNE0/Z4pCEKWZXheFEWu67ZtS5Lktm0YPs8zHIIgEIvjGHzXdTzPX6Tv+9gwynVd42rbNk7AmqZ9/tNxHMTgf+327GpZ1sn8uUzipa/d3tN/kE9l6V2TY/SfnQAAAABJRU5ErkJggg==)
3. Решите систему уравнений: .
V Вариант.
1. Решите уравнения:
а) 2х+2х-3=18; б)
; в)
; г) 8
.
2.Решите неравенства:
а)
5; б) 3![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAA4AAAANCAIAAAAWvsgoAAAAnklEQVR4nGP5//8/A3GAhUh1CKWMjIxw45HZJJh68+bN79+/GxgYoCgFioqJibGzs0O49+/fV1RUFBIS2rVrF1BcSkoKofTt27eHDx9OSUkBsnfu3HnmzJmoqCig6n///gHVoZj68uXLz58/Q1zp7u4OJIHquru7BQQE3rx5IyIiglAaGBiI7EqI6tLSUmK9RUIIYFGKHJC44o82DgAALf8/R8HX3tMAAAAASUVORK5CYII=)
3. Решите систему уравнений: .
Контрольные вопросы:
Всегда ли можно решить показательное уравнение способом приведения степеней к одинаковым основаниям?
В чем заключается основной смысл способа решения показательного уравнения введением новой переменной?
Что общего в ходе решения показательных уравнений и решения линейных уравнений с одной переменной?
Перечислите основные требования, соблюдение которых является обязательным в решении показательных неравенств?