Показательные уравнения и неравенства

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кузбасский гуманитарно-педагогический институт

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего образования

«Кемеровский государственный университет»

Факультет информатики, математики и экономики

Кафедра математики, физики и математического моделирования

Воронцова Кристина Игоревна

гр. МИ-20-1

«Показательные уравнения и неравенства»

Курсовая работа

по дисциплине «Элементарная математика»

по направлению подготовки 44.03.05 - Педагогическое образование
(с двумя профилями подготовки)

направленность (профиль) «Математика и Информатика»

Проверил:

Руководитель

канд. физ. - мат. наук,

доцент Фомина А.В.

Общий балл: _____________

Оценка: _________________

______________

_{подпись}

«____» ___________ 2023 г.

Новокузнецк, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

1. Теоретические основы решения показательных уравнений и нера-венств......................................................................................................................6

1.1. Показательные уравнения, методы и примеры их решения в ЕГЭ по математике..............................................................................................................6

1.2. Показательные неравенства, методы и примеры их решения в ЕГЭ по математике............................................................................................................26

2. Проектирование Google-сайта для изучения и контроля знаний по теме "Показательные уравнения и неравенства" 35

2.1. Разработка методических материалов для изучения, закрепления и конт-роля знаний учащихся по теме "Показательные уравнения и неравенства"..35

2.2. Создание Google-сайта для для изучения, закрепления и контроля зна-ний учащихся по теме "Показательные уравнения и неравенства"................40

Заключение 47

Библиографический список 48

Приложение..........................................................................................................50

Введение

В школьном курсе математики важное место отводится решению показательных уравнений и неравенств, а также системам, содержащие показательные уравнения и неравенства. Впервые ученики встречаются с показательными уравнениями и неравенствами в 10 классе после того, как познакомятся с показательной функцией и её свойствами, а системы, содержащие показательные уравнения и неравенства в 11 классе[1].

Актуальность темы заключается в том, что тема «Показательные уравнения и неравенства» занимает большое место в школьной программе по математике в 11 классе, ей уделяется много времени. В процессе изучения этого раздела систематизируют, обобщают и углубляют знания о степени и корнях и их свойствах, решают показательные уравнения и неравенства и их системы. К тому же, в последнее время решению показательных уравнений или неравенств уделяется много внимания, особенно при подготовке к ЕГЭ. Поэтому рассмотрение данной темы очень важно. Показательные уравнения, неравенства, системы содержащие их встречаются в заданиях ЕГЭ по математике. Поэтому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание. И для того, чтобы решить правильно систему уравнений или неравенств, нужно правильно решить показательное уравнение или неравенство.

1. Систематизировать сведения о решениях показательных уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры старшей школы.

2. Рассмотреть примеры решения показательных уравнений и неравенств различной сложности и задач для самостоятельного решения.

3. Разработать Google - сайт, который позволит учащимся изучить тему «Показательные уравнения и неравенства», а также закрепить изученное подобранными практическими заданиями и различными вариантами контрольной работы по данной теме.

В данной курсовой работе рассмотрена необходимая теоретическая информация по теме «Показательные уравнения и неравенства», в том числе и различные методы их решения; рассмотрены примеры решения показательных уравнений и неравенств различной сложности, а также присутствующие в ЕГЭ по математике.

Цель исследования: систематизировать теоретические сведения по теме «Показательные уравнения и неравенства» и спроектировать сайт для изучения темы, закрепления и контроля знаний по данной теме.

Объект исследования: показательные уравнения и неравенства Предмет исследования: решение показательных уравнений и неравенств.

В соответствии с целью, объектом и предметом курсовой работы поставлены следующие задачи исследования:

- Рассмотреть понятие показательных уравнений, методы и примеры их решения в ЕГЭ по математике;

- Рассмотреть понятие показательных неравенств, методы и примеры их решения в ЕГЭ по математике;

- Разработать методические материалы для изучения, закрепления и контроля знаний учащихся по теме «Показательные уравнения и неравенства»;

- Создать Google-сайт для для изучения, закрепления и контроля знаний учащихся по теме «Показательные уравнения и неравенства».

Методы и инструменты исследования: поиск и изучение специальной, методической и справочной литературы; анализ и синтез полученной информации.

Теоретическая значимость: систематизация теоретического материала для разработки методических материалов по теме «Показательные уравнения и неравенства».

Практическая значимость: разработаны методические материалы для изучения, закрепления и контроля знаний по теме «Показательные уравнения и неравенства», а также спроектирован Google - сайт для изучения темы «Показательные уравнения и неравенства», закрепления и контроля полученных знаний по ней. Данные материалы можно использовать, как в школе, так и для индивидуального обучения, при подготовке к сдаче ЕГЭ, а также для тех, кто хочет углубить свои знания по теме «Показательные уравнения и неравенства».

Структура курсовой работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Первая глава содержит в себе теоретические сведения о показательных уравнениях и неравенствах, которая включает в себя теоретическую информацию о различных типах заданий по данной теме, а также методы их решения.

Во второй главе разработаны методические материалы на конкретную тему «Показательные уравнения и неравенства», которое содержит пояснительную записку, задания для отработки и закрепления знаний, умений и навыков, приобретённых в процессе изучения темы «Показательные уравнения и неравенства», а также контрольную работу для проверки полученных знаний, умений и навыков. Помимо методических материалов, во второй главе также представлен разработанный Google-сайт по теме «Показательные уравнения и неравенства», который содержит в себе пояснительную записку, ожидаемые результаты, структуру сайта. Также в курсовой работе представлены: заключение, библиографический список и приложение.

1. Теоретические основы решения показательных уравнений и неравенств

1. Показательные уравнения, методы и примеры их решения в ЕГЭ по математике

Показательное уравнение - это уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при некоторых постоянных основаниях.[1]

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида:

(1)

при и . Показательная функция монотонна и принимает только положительные значения. Поэтому:

• при любом уравнение (1) имеет единственный корень ;

• при любом уравнение (1) не имеет корней.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению простейшего показательного уравнения. [1]

Пример решения простейшего показательного уравнения:

Ответ:

Для того чтобы правильно преобразовать и решить показательное уравнение необходимо знать основные свойства степеней. [2]

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Методы решения показательных уравнений.

Для решения показательных уравнений используются следующие методы [1]:

1. Метод уравнивания показателей;

2. Метод введения новой переменной;

3. Метод вынесения общего множителя за скобки;

4. Функционально-графический метод решения;

5. Метод почленного деления (для однородных уравнений);

6. Метод группировки;

7. Метод логарифмирования.

Рассмотрим использование каждого метода более подробно:

1. Метод уравнивания показателей.

Применяется данный метод при решении уравнений

, где a - положительное число и отличное от единицы число ( , ), f(x)=g(x) - выражения с переменной x. Например, его можно применять для решения уравнений и другие. [3]

Метод уравнивания показателей можно считать главным методом решения показательных уравнений, имеющих вид .

Суть метода уравнивания показателей состоит в замене решения уравнения   решением уравнения  .

Например, по методу уравнивания показателей решение уравнения   заменяется решением уравнения:

.

Алгоритм решения показательных уравнений методом уравнивания показателей.

Доказанная в предыдущем пункте теорема позволяет записать алгоритм решения уравнения  методом уравнивания показателей. [3]

Чтобы решить уравнение  1 методом уравнивания показателей, надо

1. Уравнять показатели степеней   и  , составляющих исходное уравнение. То есть, перейти от исходного уравнения  к уравнению  .

2. Решить полученное уравнение  . Его решение является решением исходного уравнения.

Рассмотрим примеры показательных уравнений, при решении которых применяется метод уравнивания показателей. [7]

Пример 1. Решите уравнение

Решение:

;

x= -7

Ответ: x = -7.

Пример 2. Решите уравнение

Решение:

Откуда корни по теореме Виета равны 5 и 1.

Ответ: ; .

Пример 3. Решите уравнение

Решение:

Ответ: x=1.

1. Метод введения новой переменной.

Метод введения новой переменной предназначен для решения уравнений, имеющих вид или , где - некоторые функции, а x - неизвестная переменная. [1]

Например, его можно применять для решения уравнений:

.

Суть метода введения новой переменной для решения уравнения состоить во введении новой переменной t как с целью нахождения всех корней исходного уравнения через множество решений T уравнения с новой переменной t и использование равенства  . Следует отметить, что корнями исходного уравнения являются все такие значения x, которые удовлетворяют условию  . В частности,

• если T – пустое множество, то есть, уравнение   не имеет решений, то условие   определяет пустое множество, а это означает, что исходное уравнение не имеет решений;

• если T – конечное множество, то есть, уравнение   имеет n реше-ний  , то условие   есть не что иное, как совокупность уравнений  , а это означает, что решением исходного уравнения является решение совокупности урав-нений  .

Алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной

1. Вводится новая переменная t как  , и осуществляется переход от исходного уравнения   со старой переменной x к уравнению   с новой переменной t. [3]

2. Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом:

• если оно не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,

• если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.

1. Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого:

• если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет единственный корень, обозначим его  , то составляется уравнение g(x)= ,

• если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет два, три или любое другое, но конечное число корней, обозначим их  , то составляется совокупность уравнений  ,

• если же решенное на предыдущем шаге уравнение имеет бесконечно много корней, и они составляют числовое множество T, то составляется совокупность уравнений, неравенств и двойных неравенств, отвечающая выражению g(x)∈T (например, если решением уравнения с новой переменной t является числовое множество (−∞, )∪{ }∪[ , ), что то же самое , то соответствующая совокупность будет иметь вид  .

1. Наконец, решается составленное уравнение или совокупность – её решение есть искомое решение исходного уравнения.

Рассмотрим примеры показательных уравнений, при решении которых применяется метод введения новой переменной. [7]

Пример 4. Решите уравнение

Решение:

Перенесём слагаемые из правой части в левую:

Введём замену неизвестной переменной :

Пусть =t,

Получаем следующее уравнение: 0

Найдём корни квадратного уравнения по теореме Виета:

;

Следовательно, t=1

Сделаем обратную замену:

Ответ: x=0

Пример 5. Решите уравнение

Решение:

Упростим показательное уравнение

Применим метод введения новой переменной,

пусть данное уравнение можно записать в виде

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

;

;

Сделаем обратную замену:

,

,

Ответ: ,

Пример 6. Решите уравнение

Решение:

Упростим показательное уравнение:

Данное уравнение является однородным третьей степени относительно степеней и .

Разделим все члены данного уравнения на , при этом полу-чаем:

Введем новую переменную:

, уравнение принимает форму кубического уравнения вида:

Разложим методом группировки левую часть уравнения на множители и найдём его корни:

,

Откуда,

Исходное уравнение равносильно совокупности трёх показательных уравнений Получаем: первое уравнение не имеет решений, .

Ответ: .

1. Метод вынесения общего множителя.

Для того чтобы решать показательное уравнение данным способом необходимо чтобы выполнялись следующие условия [1]:

1) все степени имеют одинаковые показатели,

2) все показатели степеней имеют одинаковые коэффициенты при переменных.

При решении уравнений данным способом удобнее выносить степень с наименьшим показателем, если основание с наибольшим - при .

Рассмотрим примеры с применением данного метода. [7]

Пример 7. Решите уравнение

Решение:

Запишем данное уравнение следующим образом:

Вынесем общий множитель за скобки:

Ответ: x=3

Пример 8. Решите уравнение

Решение:

Запишем данное уравнение следующим образом:

Вынесем общий множитель за скобки:

Ответ:

Пример 9.

Решение:

Запишем данное уравнение следующим образом:

Вынесем общий множитель за скобки:

Произведение будет равно нулю только, тогда когда хотя бы один из множителей равен нулю, значит:

Уравнение решений не имеет, так как x должен быть больше нуля.

Уравнение

Ответ: x=0

1. Графический метод решения.

Графический метод решения уравнений предполагает использование графиков функций. Строить графики функций не так легко, именно поэтому графический метод решения показательных уравнений применяется в основном лишь тогда, когда функции, отвечабщие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. [1]

Алгоритм решения показательных уравнений графическим методом.

Чтобы решить показательное уравнение графическим методом, надо:

1. Построить в одной прямоугольной системе координат графики функций, отвечающие левой и правой частям уравнения.

2. По чертежу определить все точки пересечения графиков:

- если точек пересечения нет, то решаемое уравнение не имеет корней.

- если точки пересечения имеются, то переходим к следующему шагу алгоритма.

1. По чертежу определить абсциссы всех точек пересечения графиков - это приближенные значения всех корней исходного уравнения.

2. Если сеть основания полагать, что некоторые или все определённые на предыдущем шаге значения являются точными значениями корней решаемого уравнения, то осуществить их проверку, например, подстановкой. Но иногда определённые по чертежу приближенные значения корней оказываются точными. Обычно это касается целых значений. Но, опять же, прежде чем утверждать, что найденные значения являются точными корнями уравнения, сначала нужно сделать проверку этих значений, например, при помощи подстановки.

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений с помощью применения графического метода[8].

Пример 10. Решите уравнение [7]

Решение:

Разделим данное уравнение на отдельные функции

Изобразим данные функции на плоскости и найдем точку пересечения, именно она и будет решением данного уравнения.

Рисунок 1. Решение показательного уравнения графическим методом

Точка пересечения двух функций имеет координаты (-1;4). Но поскольку нам надо решить уравнение относительно x, то в ответ мы запишем -1.

Ответ: -1

Пример 11. Решить уравнение [7]

Решение:

Разделим данное уравнение на отдельные функции

Изобразим данные функции на плоскости и найдем точку пересечения, именно она и будет решением данного уравнения.

Рисунок 2

Точка пересечения двух функций имеет координаты (1;9). Но поскольку нам надо решить уравнение относительно x, то в ответ мы запишем x=1.

Ответ: x=1

Пример 12. Решите уравнение

Решение:

Разделим данное уравнение на отдельные функции

Изобразим данные функции на плоскости и найдем точку пересечения, именно она и будет решением данного уравнения.

Рисунок 3

Точка пересечения двух функций имеет координаты (1;5). Но поскольку нам надо решить уравнение относительно x, то в ответ мы запишем x=1.

Ответ: x=1

1. Метод почленного деления.

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений. [1]

Пример 13. Решить уравнение

Решение:

Выполним некоторые преобразования

Для того, чтобы решить данное показательное уравнение разделим его на

Далее это уравнение можем решить методом введения новой переменной

Пусть

Обратная замена:

Ответ: .

Пример 14. Решите уравнение

Решение:

Преобразуем уравнение:

Разделим данное показательное уравнение на олучим:

Введем новую переменную.

Пусть

Вернемся к обратной замене:

; ;

; ;

Ответ: ;

Пример 15. Решите уравнение

Решение:

Преобразуем уравнение:

Разделим данное уравнение на получим:

Вводим новую переменную.

Пусть

Произведение будет равно нулю только, тогда когда хотя бы один из множителей равен нулю, значит:

или

или

или

или

Так как то - не удовлетворяет данному условию, то единственным решением уравнения является .

Ответ:

1. Метод группировки.

Способ группировки заключается в том, чтобы собрать степени с разными основаниями в разных частях уравнения, а затем разделить обе части уравнения на одну из степеней. [1]

Пример 16. Решите уравнение [7]

Решение: Заметим, что в данном уравнении можно сгруппировать 1 и 3 слагаемые и 2 и 4 слагаемые.

Вынесем общий множитель и 5 за скобки:

Вынесем за скобку общий множитель :

Произведение будет равно нулю только, тогда когда хотя бы один из множителей равен нулю, значит:

Ответ:

Пример 17. Решите уравнение [7]

Решение:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

Разделим обе части уравнения на :

Ответ:

Пример 18. Решите уравнение

Решение:

Перенесем все слагаемые из правой части в левую и приравняем его к нулю:

Сгруппируем 1 и 4 слагаемые и 2 и 3 слагаемые:

Вынесем общий множитель и за скобки:

Раскроем скобки:

x=1

Ответ: x=1

1. Метод логарифмирования.

Данный метод обычно применяется для решения уравнений, логарифмирование обеих частей которых позволяет избавиться от переменной в показателях степеней. [3]

В основном, к таким уравнениям относятся следующие:

- уравнения, в одной части которых находится степень с  переменной в показателе, произведение или частное таких степеней, возможно с положительным числовым коэффициентом, а в другой части – положительное число. В качестве примера приведем уравнение 

- уравнения, в обеих частях которых находятся степени с переменной в показателях, произведение или частное таких степеней, возможно с положительными числовыми коэффициентами. Таким, например, является уравнение

Алгоритм решения уравнений методом логарифмирования.

Чтобы решить показательное уравнение методом логарифмирования, надо:

1. Убедиться, что выражения, отвечающие частям уравнения, принимают положительные значения при любом значении переменной из ОДЗ для исходного уравнения.

2. Прологарифмировать обе части уравнения по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию.

3. Решить полученное уравнение. Его решение является решением исходного уравнения. [3]

Пример 19. Решить уравнение [7]

Решение:

Прологарифмируем обе части показательного уравнения по основанию 2.

Получаем уравнение:

Свойства логарифмов позволяют провести ряд равносильных преобразований уравнения:

=

=

Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению путём переноса слагаемых:

Так как

.

Так как

8

Следовательно, квадратное уравнение

не имеет решений, а это значит, что и исходное показательное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 20. Решить уравнение [7]

Решение:

Уточним, что решением данного уравнения должно быть такое число x, что

Прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию 10:

Ответ:

Пример 21. Решить уравнение [7]

Решение:

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

Выполнив необходимые вычисления, получаем следующие корни:

Ответ:

Также, следует сказать и про решение систем показательных уравнений.

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений из ЕГЭ по математике:

Пример 22. Решить уравнение [11]

Решение:

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

;

Приведем к одному основанию:

Ответ:

Пример 23. Решите уравнение [11]

Решение:

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

Разделим каждое слагаемое уравнения на 3:

Замена:

Умножим каждое слагаемое уравнения на 3:

По теореме Виета получаем следующие корни:

Обратная замена: , следовательно

; откуда ;

; откуда

Ответ: ; .

Пример 24. Решить уравнение [11]

Решение:

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

Разделим каждое слагаемое данного уравнения на и получим:

Замена:

Разделим каждое слагаемое данного уравнения на и получим:

Решим квадратное уравнение:

- не удовлетворяет условию .

Обратная замена: , следовательно

;

;

Ответ: ; .

1. Показательные неравенства, методы и примеры их решения в ЕГЭ по математике

Показательное неравенство - это неравенства, содержащие переменную в показателе степени, то есть это неравенства вида , где и . [4]

Для решения неравенств применяются свойства возрастания или убывания показательной функции.

Рассмотрим два случая:

1. При показательная функция монотонно возрастает. Поэтому неравенство будет выполнено для всех так как значение функции тем больше, чем больше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная . [4]

2. При показательная функция монотонно убывает. Поэтому неравенство будет выполнено для всех так как значение функции тем больше, чем меньше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная . [4]

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Таким образом, можно сформулировать общий алгоритм решения показательных неравенств.

1. Свести к простейшему показательному неравенству: .

2. Решить полученное неравенство по следующему правилу:

⇒

То есть, если основание больше 1, то мы сохраняем знак неравенства, а если основание меньше 1, то меняем знак неравенства на противоположный.

Основные виды показательных неравенств и примеры их решения.

1. Неравенства вида - простейший вид показательных неравенств. [10]

Пример 25. Решите неравенство [5]

Решение: ⇒ ⇒ (знак неравенства не меняется, так как основание )

Ответ:

Пример 26. Решите неравенство [5]

Решение: ⇒ ⇒ ((знак неравенства меняется на противоположный, так как основание ).

Ответ:

Пример 27. Решите неравенство [5]

Решение:

Основания одинаковые, поэтому их можно отпустить и сравнить показатели степеней

, так как функция возрастает

Ответ:

1. Неравенства вида . [9]

Необходимо рассмотреть два случая:

• , тогда ↔

• , тогда ↔ при

↔ при

При исходное неравенство равносильно числовому неравенству при .

Пример 28. Решите неравенство [10]

Решение:

Ответ:

Пример 29. Решите неравенство [10]

Решение:

Ответ:

Пример 30. Решите неравенство [10]

Решение:

Представим 25 в виде степени с основанием 5

Основания одинаковые, поэтому их можно отпустить и сравнить показатели степеней

Приравняем квадратное уравнение, найдём его корни и разложим на линейные множители

и

Получаем

Следовательно,

Ответ: .

1. Неравенства вида

При решении неравенств подобного вида применяют логарифмирование обеих частей по основанию a или b. Учитывая свойства показательной функции, получаем: [10]

• ;

• 

Пример 31. Решить неравенство [9]

Решение:

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 2. Тогда имеем:

или

Следовательно,

Ответ:

Пример 32. Решить неравенство [9]

Решение:

Логарифмируем неравенство по основанию 3.

Следовательно,

Ответ:

1. Показательные неравенства, решаемые методом замены переменной (введением новой переменной).

Метод введения новой переменной используется для упрощения решения неравенств в тех случаях, когда после всевозможных преобразований получили получили неравенство, в котором появилась возможность обозначить какую-то степень другой переменной и, при этом, все остальные степени также будут выражаться чеерз введённую переменную. Если в решении неравенства относительно введённой переменной получили двойное неравенство, то, прежде чем переходить к исходной переменной, необходимо записать это двойное неравенство в виде системы двух неравенств, а затем переходить к исходной переменной. [6]

Пример 33. Решить неравенство [7]

Решение:

Запишем данное неравенство в следующем виде:

Пусть тогда исходное неравенство равносильно:

Вернёмся к обратной замене и получим:

Следовательно, .

Ответ:

Пример 34. Решить неравенство [13]

Решение:

Запишем данное неравенство в следующем виде:

Пусть тогда исходное неравенство равносильно:

Вернемся к обратной замене:

Так как , то

Следовательно, .

Ответ:

1. Показательные неравенства, содержащие однородные функции относительно показательных функций.

Однородными называются такие показательные неравенства, где в каждом слагаемом сумма степеней одинакова. [6]

Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.

Рассмотрим примеры решения показательных неравенств такого вида.

Пример 35. Решить неравенство [13]

Решение:

Исходное неравенство можно записать в следующем виде:

В левой части - однородные функции относительно и . Отсюда можно разделить обе части неравенства на и или . Разделив обе части исходного неравенства на , получаем:

Пусть =t, тогда получаем:

Поскольку и исходное неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Пример 36. Решить неравенство [13]

Решение:

Ответ:

Также рассмотрим несколько примеров показательных неравенств из ЕГЭ по математике:

Пример 37. Решите неравенство [7]

Решение:

Преобразуем неравенство к следующему виду:

Следовательно, получаем ответ:

Ответ: .

Пример 38. Решите неравенство [13]

Применим метод ведения новой переменной:

Пусть =t, тогда получаем:

Поскольку и исходное неравенство равносильно следующему:

1

,

;

,

1.

Cледовательно, .

Ответ: .

Пример 39. Решить неравенство . [13]

Решение:

Преобразуем данное неравенство и запишем в следующем виде:

Пусть , тогда неравенство примет вид:

;

;

;

;

;

;

;

Обратная замена:

При получим: , откуда

При получим: , откуда

При получим: , откуда

Таким образом, решением исходного неравенства является: ; .

Ответ:

2. Проектирование Google-сайта для изучения и контроля знаний по теме "Показательные уравнения и неравенства" 2.1. Разработка методических материалов для изучения, закрепле-ния и контроля знаний учащихся по теме «Показательные уравне-ния и неравенства» В методических материалах представлены примеры заданий по теме: «Показательные уравнения и неравенства» для обучающихся 10-11 классов, а также по 2 варианта для контрольных работ по темам «Показательные уравнения» и «Показательные неравенства». Контрольные работы рассчитаны как на классные, так и на внеклассные занятия обучающихся после прохождения соответствующей темы. Задания в контрольной работе по теме «Показательные уравнения» распределены по уровням сложности: задания №1-№5, №7-№8 - «Простейшие показательные уравнения», задание №6 - решение показательных уравнений графически, №9-№13 - «Решение уравнений вынесением общего множителя за скобку или методом почленного деления», №14-№17 - «Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям методом замены переменной».

Задания в контрольной работе по теме «Показательные неравенства» распределены по уровням сложности: задания №1, №2 - простейшие показательные неравенства», задание №3 - неравенства вида , №4 - ; задания №5 - №8 - показательные неравенства, решаемые методом замены переменной (введением новой переменной) или содержащие однородные функции относительно показательных функций и №9 - показательные неравенства, решаемые графическим методом.

К каждому заданию приведены ответы. Контрольные работы служат дополнением к практическим занятиям по теме «Показательные уравнения и неравенства», и разработаны с целью закрепления, обобщения и систематизации знаний учащихся по данной теме, и соответственно, для более качественной подготовки к итоговому экзамену.

Задания для отработки и закрепления знаний учащихся по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Показательные уравнения:

1. ; [11]

2. [11]

3. ; [11]

4. ; [11]

5. ; [8]

6. ; [11]

7. ; [13]

8. ; [13]

9. ; [13]

10. [13]

11. [13]

12. [13]

13. [11]

14. ; [11]

15. [13]

16. [11]

17. ; [13]

18. [11]

19. ; [13]

20. [13]

21. ; [13]

22. [7]

23. [7]

24. [11]

25. ; [13]

26. Докажите, что уравнение имеет только один корень

. [7]

Ответы и решения приведены в Приложении.

Показательные неравенства:

1. [13]

2. [11]

3. [7]

4. [13]

5. [11]

6. [13]

7. [7]

8. [13]

9. [13]

10. [11]

11. [13]

12. [13]

13. ; [13]

14. Найти целые решения неравенства на отрезке : [7]

а)

б)

Ответы и решения приведены в Приложении.

Контрольная работа по теме «Показательные уравнения»

Вариант 1

1. 

2. ;

3. ;

4. 

5. ;

6. Решить графически уравнение:

7. 

8. 

9. 

10. ;

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. ;

17. .

Вариант 2

1. 

2. ;

3. ;

4. 

5. ;

6. Решите графически уравнение:

7. 

8. 

9. ;

10. 

11. 

12. ;

13. 

14. 

15. 

16. ;

17. .

Контрольная работа по теме «Показательные неравенства»

Вариант 1

1. 

2. 

3. 

4. ;

5. 

6. ;

7. 

8. 

9. Решите графически неравенство: .

Вариант 2

1. 

2. 

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. 

8. ;

9. Решите графически неравенство:

2.2. Создание Google-сайта для изучения, закрепления и контроля знаний учащихся по теме «Показательные уравнения и неравенства»

В современном мире цифровые технологии играют одну из важных ролей в любой сфере жизни. В том числе это касается и образования. В образовательных учреждениях, особенно с появлением операционной системы Windows, открылись новые возможности. Применение компьютерных технологий в процессе изучения данной темы поможет заинтересовать учащихся, замотивировать их. Сейчас активно используются различные мультимедийные средства, которые позволяют использовать текст, графику, видео и т. д. а интерактивном режиме, что расширяет области применения компьютера. Это не только помогает сделать урок ярче и интереснее, но также в каких-то моментах упростить его для учителя. Ведь это не только иллюстративная наглядность для учеников, но и удобное и компактное хранение информации. В своей работе Филимонова З. А. выделяет следующие основные задачи использования цифровых ресурсов в обучении: повышение мотивации к изучению дисциплины; развитие самостоятельности учащихся; повышение уровня наглядности; подготовка учащихся к адаптации в информационном обществе. Помимо этого цифровые средства обучения можно использовать при подготовке к ЕГЭ [12]. Именно поэтому, в ходе написания курсовой работы по теме «Показательные уравнения и неравенства» был разработан Google-сайт для изучения и отработки навыков решения заданий по данной теме. Данный сайт также предназначен для подготовки учащихся к единому государственному экзамену в 10-11 классах. Обучающий сайт предназначен для широкого круга учащихся вне зависимости от выбранного профиля обучения.

Google-сайт имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, углублению и систематизации знаний по теме «Решение показательных уравнений и неравенств» при подготовке к экзаменам. Школьная программа по математике содержит лишь самые необходимые, максимально упрощённые знания по данному разделу. Практика показывает громадный разрыв между содержанием школьной программы по математике и теми требованиями, которые налагаются на учащихся при сдаче ЕГЭ. Сайт ориентирован на расширение базового уровня знаний учащихся по математике, является предметно-ориентированным и дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами в разделе, посвященном с весьма распространенными методами решения уравнений и неравенств, проверить свои способности к математике. Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания, вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный онлайн-сайт будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике.

Разработанный сайт может быть использован учителями математики при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ, централизованному тестированию и вступительным экзаменам в высшие учебные заведения.

Цели создания сайта: овладение языком теории, знаниями и умениями, необходимыми для решения показательных уравнений и неравенств.

Задачи:

· расширить кругозор учащихся;

· расширить знания о показательных уравнениях и неравенствах;

·сформировать первоначальный навык решения показательных уравнений и неравенств;

·способствовать формированию у школьников интереса к изучению математики.

Ожидаемые результаты:

В результате изучения показательных уравнений и неравенств ученик должен:

знать/понимать

· основные понятия: понятие показательных уравнений и неравенств, методы решения показательных уравнений и неравенств, а также свойства, необходимые для решения показательных уравнений и неравенств;

· обладать знаниями, необходимыми для применения перечисленных ниже умений;

Уметь

· определять метод, по которому решается то или иное показательное уравнение или неравенство по определенным признакам;

·применять рациональные приёмы вычислений и тождественных преобразований;

· правильно проводить логические рассуждения;

· обладать уверенностью в решении задач эвристического плана;

· успешно сдать ЕГЭ;

· осознанное самоопределение ученика относительно профиля дальнейшего обучения или профессиональной деятельности.

Ниже представлены несколько фотографий содержания курса, а также ссылка на данный Google-сайт «Показательные уравнения и неравенства»

Более подробно с сайтом вы можете ознакомиться по ссылке: https://sites.google.com/view/pokazatel-uravneny-neravenstva?usp=sharing.

Для удобства, также можно отсканировать QR-код:

Заключение

При выполнении данной работы в теоретической части мы разобрали основные понятия, свойства показательных уравнений и неравенств, а также методы, необходимые для их решения, закрепляя каждый из рассмотренных методов различными по уровню сложности примерами с их решением. В практической части данной работы были разработаны методические материалы по теме «Показательные уравнения и неравенства», которые содержат в себе различные примеры показательных уравнений и неравенств для отработки полученных знаний, умений и навыков, а также по два различных варианта контрольной работы по темам «Показательные уравнения» и «Показательные неравенства». Представленные варианты контрольной работы можно использовать как по отдельности, так и в совокупности, объединив контрольную работу по теме «Показательные уравнения» и контрольную работу по теме «Показательные неравенства» в одну. Анализируя данные, собранные для курсовой работы, можно сделать вывод, что изучение темы «Показательные уравнения и неравенства» необходимо в школьном курсе алгебры, так как задания связанные с этой темой присутствуют в едином государственном экзамене по математике как базового, так и профильного уровней. А с помощью разработанных методических материалов и онлайн - сайта ученики смогут не только изучить тему «Показательные уравнения и неравенства», но и подготовиться к экзаменам.

Таким образом, вся полученная информация дает основание полагать, что поставленная в начале работы цель достигнута, а исследовательские задачи решены полностью.

Библиографический список

1. Авдохина, А. С. Методы решения показательных уравнений и неравенств / А. С. Авдохина. Текст : электронный // MODERN SCIENCE. – 2022.–№ 4. – С. 294-297. – URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=48283607 (дата обращения: 15.10.2023). – Режим доступа: локальная сеть КГПИ КемГУ.

2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень: учебник / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир. - Москва : Вентана-Граф, 2019. - с. 253 - (Высшее образование). -Текст : непосредственный.

3. Байталова, А. Е. Методика изучения показательных уравнений в школьном курсе математики / А. Е. Байталова. Текст : электронный // Информация и образование: границы коммуникаций. – 2015. – №7-15. – С. 229-231. – URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23693877 (дата обращения: 15.10.2023). – Режим доступа: локальная сеть КГПИ КемГУ.

4. Батаева, Я. Д. Методика решения показательных уравнений и неравенств / Я. Д. Батаева. Текст : электронный // Проблемы современного педагогического образования. – 2022. – №77-2. – С. 47-49. – URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=50363614 (дата обращения: 15.10.2023). – Режим доступа: локальная сеть КГПИ КемГУ.

5. Глушковская, Я. Г. Неравенства разных видов в итоговом повторении при подготовке к ЕГЭ // Я. Г. Глушковская. Текст : электронный//Проблема процесса; С.105. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=38301075&selid=38301633 (дата обращения: 15.10.2023). – Режим доступа: локальная сеть КГПИ КемГУ.

6. Данилова, Н. А. и др. Методические аспекты изучения неравенств в школьном курсе алгебры / Н. А. Данилова. Текст : электронный // Приоритетные направления развития науки и образования. – 2018. – С. 79-87. – URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?edn=xpkdwh (дата обращения: 27.11.2023). – Режим доступа: локальная сеть КГПИ КемГУ.

7. Киренкова, Т. А. Методическая разработка по математике. Тема: «Решение показательных уравнений и неравенств» // Т. А. Киренкова. Текст: электронный // Школьная педагогика - С. 64-72. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=28800356 (дата обращения: 15.10.2023). – Режим доступа: локальная сеть КГПИ КемГУ.

8. Куляпина, Е. С. Формирование умений у учащихся решать показательные уравнения / Е. С. Куляпина. Текст : электронный // Педагог-профессионал в школе будущего. – 2019. – С. 59-64. – URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=43997137 (дата обращения: 27.11.2023). – Режим доступа: локальная сеть КГПИ КемГУ.

9. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра. 8 класс //Учеб. для общеобразоват. организаций/под ред. СА Теляковского. М.: Просвещение. – 2013.

Алгебра. 8 класс : учебник / Макарычев Ю. Н., Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. - Москва : Просвещение, 2013. - 287 с. - ISBN 978-5-09-022881-7. – Текст : непосредственный.

1. Математика: алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Профильный уровень / Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева [и др.]. - 8-е издание. – Москва : Мнемозина, 2010.- 264 с. – ISBN 978-5-346-01343-3. – Текст : непосредственный.

2. Сдам ГИА: решу ЕГЭ / Текст : электронный // сайт : Сдам ГИА— URL: https://ege.sdamgia.ru/

3. Фомина, А. В., Жолобова. Е. А., Проектирование электронного сборника задач по теме «Показательные уравнения и неравенства» и его применение / А. В. Фомина., Е. А. Жолобова, Текст : электронный // XXIV Всероссийская студенческая научно-практическая конференция Нижневартовского государственного университета. – 2022. – С. 79-87. – URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=48599986 (дата обращения: 27.11.2023). – Режим доступа: локальная сеть КГПИ КемГУ.

4. Math100.RU : подготовка к ОГЭ и ЕГЭ по математике : сайт. – URL: https://math100.ru/ (дата обращения: 15.10.2023). – Режим доступа: свободный доступ – Текст : электронный.

Приложение

Задания для отработки и закрепления знаний учащихся по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Показательные уравнения:

1. ; [11]

Решение: данное уравнение решим методом уравнивания показателей

Запишем уравнение следующим образом

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: , где .

Ответ: .

1. [11]

Решение: данное уравнение решим методом уравнивания показателей

Запишем уравнение следующим образом

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: , где .

Ответ: .

1. ; [11]

Решение: данное уравнение решим методом уравнивания показателей

Запишем уравнение следующим образом

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: , где .

Ответ: .

1. ; [11]

Решение: данное уравнение решим методом уравнивания показателей, но сначала выполним некоторые преобразования, упростим запись.

Запишем уравнение следующим образом

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: , где .

Ответ: .

1. ; [8]

Решение: преобразуем уравнение и решим методом уравнивания показателей.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение:

Ответ:

1. ; [11]

Решение: преобразуем уравнение и решим методом уравнивания показателей.

Разделим обе части уравнения на 3:

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение:

Ответ:

1. ; [12]

Решение: умножим обе части уравнения на :

Используя свойства степеней запишем уравнение в следующем виде:

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: 2x

Ответ:

1. ; [8]

Решение: преобразуем уравнение следующим образом:

Воспользуемся свойством степени:

Поскольку основания одинаковые, их можно отбросить, а показатели степени уравнять:

Решим простое линейное уравнение:

Ответ:

1. ; [8]

Решение: преобразуем уравнение следующим образом:

Воспользуемся свойством степени:

Поскольку основания одинаковые, их можно отбросить, а показатели степени уравнять:

Решим простое линейное уравнение:

Ответ:

1. [8]

Решение: преобразуем уравнение и решим методом замены (введения новой переменной).

Воспользуемся свойством степеней и запишем уравнение следующим образом:

Умножим обе части уравнения на 3:

Введём новую переменную:

Пусть ,

Обратная замена: так как , следовательно , откуда

Поскольку основания одинаковые, их можно отбросить, а показатели степени уравнять:

Ответ:

1. [8]

Решение: упростим данное уравнение и решим методом введения новой переменной.

Воспользуемся свойством степеней и запишем уравнение следующим образом:

Умножим обе части уравнения на 27:

Введём новую переменную:

Пусть ,

Обратная замена: так как , следовательно где

Поскольку основания одинаковые, их можно отбросить, а показатели степени уравнять:

Ответ:

1. [12]

Решение: упростим данное уравнение и решим методом введения новой переменной.

Воспользуемся свойством степеней и запишем уравнение следующим образом:

Умножим обе части уравнения на 3:

Введём новую переменную:

Пусть ,

Обратная замена: так как , следовательно где

Поскольку основания одинаковые, их можно отбросить, а показатели степени уравнять:

Ответ:

1. [11]

Решение: разделим обе части уравнения на

Воспользуемся свойством степеней и запишем уравнение следующим образом:

Поскольку основания одинаковые, их можно отбросить, а показатели степени уравнять:

Ответ: .

1. ; [11]

Решение: возьмем логарифм от обеих частей уравнения

Используя свойство логарифмов:

Используя ещё одно свойство логарифмов:

Разделим обе части уравнения на :

Ответ:

1. [12]

Решение: преобразуем данное уравнение и решим его с помощью метода введения новой переменной.

Пусть

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно

• откуда , значит ;

• откуда , значит .

Ответ: ; .

1. [11]

Решение: преобразуем данное уравнение и решим его с помощью метода введения новой переменной.

Пусть

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно

• откуда , значит ;

• откуда , значит .

Ответ: ; .

1. ; [12]

Решение: преобразуем данное уравнение, используя свойства степеней.

Умножить обе части уравнения на :

Поскольку основания одинаковые, их можно отбросить, а показатели степени уравнять:

Решим простое линейное уравнение:

Умножим обе части уравнения на 2:

Ответ:

1. [11]

Решение: преобразуем данное уравнение, используя свойства степеней.

Поскольку основания одинаковые, их можно отбросить, а показатели степени уравнять:

Решим уравнение:

Умножим обе части уравнения на 2:

Воспользуемся методом вынесения общего множителя за скобки:

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Следовательно, , если

.

Ответ: .

1. ; [8]

Решение: преобразуем данное уравнение, используя свойства степеней.

Поскольку основания одинаковые, их можно отбросить, а показатели степени уравнять:

Перенесём из левой части уравнения -2 в правую часть:

Теперь, возведём обе части уравнения в квадрат и решим полученное уравнение:

Ответ: .

1. [8]

Решение: решим следующее уравнение методом логарифмирования.

Для этого прологарифмируем:

Теперь упростим, выполнив некоторые преобразования:

С помощью свойства логарифмов

Используя еще одно свойство логарифмов: получаем:

Умножим обе части уравнения на 4:

Применим метод вынесения общего множителя за скобки:

Разделим обе части уравнения на

Ответ:

1. ; [8]

Решение: это простейшее показательное уравнение, решаемое методом уравнивания показателей степеней.

Поскольку основания одинаковые, их можно отбросить, а показатели степени уравнять:

Умножим обе части уравнения на -1:

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Следовательно, , если

.

Ответ: ; .

1. [8]

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, а после решим уравнение методом введения новой переменной.

Замена: пусть

Ответ: .

1. [12]

Решение: преобразуем данное уравнение, используя свойства степеней и решим его методом замены переменной (введения новой переменной).

Замена: пусть

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно

• откуда , значит , тогда

Ответ: .

1. [11]

Решение: преобразуем данное уравнение и решим методом уравнивания показателей степеней.

Воспользуемся методом общего множителя за скобки:

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Следовательно, , если

.

Ответ: ; .

1. ; [12]

Решение: преобразуем данное уравнение, используя свойства степеней и решим его методом замены переменной (введения новой переменной).

Разделим обе части уравнения на :

Замена: пусть

Запишем квадратное уравнение следующим образом:

Определим дискриминант:

ледовательно уравнение имеет два корня.

Обратная замена: так как , следовательно

• откуда , значит ;

• откуда , значит .

Ответ: ; .

1. Докажите, что уравнение имеет только один корень

. [11]

Решение: любое число в первой степени равно самому себе, так как показатель степени 1 указывает, что число берётся сомножителем всего один раз, то есть оно ни на что не умножается,а просто остаётся без изменений , следовательно x=1 выполним проверку Проверка: , значит уравнение решено верно Ответ: .

Показательные неравенства:

1. [12]

Решение: преобразуем неравенство, и решим как простейшее показательное уравнение.

Поскольку основания одинаковые, можно отбросить их

x

2

- +

Следовательно,

Ответ:

1. [11]

Решение: преобразуем неравенство, и решим как простейшее показательное уравнение.

Используя свойства степеней, преобразуем данное показательное уравнение:

Поскольку основания одинаковые, можно отбросить их

-0,5

x

- +

Следовательно,

Ответ:

1. [8]

Решение: преобразуем неравенство, и решим как простейшее показательное уравнение.

Поскольку основания одинаковые, можно отбросить их

-0,5

x

- +

Следовательно,

Ответ:

1. [12]

Решение: преобразуем уравнение используя свойства степеней и решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

3

x

- +

Следовательно,

1. [11]

Решение: преобразуем уравнение используя свойства степеней и решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

Разложим по формуле сокращенного умножения:

x

2

-2

+ - +

Следовательно, .

Ответ: .

1. [12]

Решение: преобразуем уравнение, используя свойства степеней и решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

-0,25

x

- +

Следовательно,

Ответ:

1. [8]

Решение: преобразуем уравнение, используя свойства степеней и решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

-1

x

- +

Следовательно, .

Ответ: .

1. [12]

Решение: преобразуем уравнение, используя свойства степеней и решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

-3

x

- +

Следовательно, .

Ответ: .

1. [8]

Решение: преобразуем уравнение, используя свойства степеней и решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее квадратное неравенство:

Домножим обе части неравенства на -1:

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

По теореме Виета:

Разложим квадратное уравнение на квадратный трёхчлен:

Следовательно, получаем следующее неравенство:

1

x

2

+ - +

Следовательно, .

Ответ: .

1. [11]

Решение: преобразуем уравнение, используя свойства степеней и решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее квадратное неравенство:

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

По теореме Виета:

Разложим квадратное уравнение на квадратный трёхчлен:

Следовательно, получаем следующее неравенство:

1

x

2

+ - +

Следовательно, .

Ответ: .

1. [8]

Решение: преобразуем уравнение, используя свойства степеней и решим показательное неравенство с помощью метода введения новой переменной (метода замены).

Умножим обе части неравенства на 3:

Замена: пусть

3

x

- +

Следовательно, .

Ответ: .

1. [8]

Решение: преобразуем уравнение, используя свойства степеней и решим показательное неравенство с помощью метода введения новой переменной (метода замены).

Умножим обе части неравенства на 8:

Замена: пусть

Обратная замена: так как

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

4,5

x

- +

Следовательно, .

Ответ: .

1. ; [8]

Решение: преобразуем уравнение, используя свойства степеней и решим показательное неравенство с помощью метода введения новой переменной (метода замены).

Замена: пусть

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

По теореме Виета:

Обратная замена: , следовательно , откуда

Следовательно, получаем следующее неравенство:

x

3

- +

Следовательно, .

Ответ: .

1. Решить графически неравенства: [12]

а)

Решение: рассмотрим две функции.

1. - показательная функция.

x	-2	-1	0
y	9	3	1

1. - уравнение прямой.

x	-1	-2
y	3	0

Изобразим графики функции в онлайн-сервисе Geogebra

Рисунок 4

Ответ:

б)

Решение: рассмотрим две функции.

1. - показательная функция.

x	0	1	2
y	1	3	9

1. - уравнение прямой.

x	-2	-1
y	1	-1

Изобразим графики функции в онлайн-сервисе Geogebra

Рисунок 5

Ответ:

1. Найти целые решения неравенства на отрезке : [12]

а)

Решение: преобразуем неравенство, используя свойства степеней и решим его методом введения новой переменной.

Замена: пусть ,

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

По теореме Виета:

Обратная замена: , следовательно , откуда

Следовательно, получаем следующее неравенство:

x

1

- +

На отрезке :

Ответ: .

б)

Решение: преобразуем неравенство, используя свойства степеней и решим его методом введения новой переменной.

Замена: пусть ,

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

Определим дискриминант:

ледовательно уравнение имеет два корня.

Обратная замена: так как , следовательно получаем неравенство следующего вида:

x

-1

- +

На отрезке : .

Ответ:

Контрольная работа по теме «Показательные уравнения»

Вариант 1

1. 

Решение: решим простейшее показательное уравнение.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение:

Ответ:

1. ;

Решение: решим простейшее показательное уравнение.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение:

Ответ:

1. ;

Решение: используя свойства степеней, преобразуем данное показательное уравнение и решим методом уравнивания показателей степеней.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение:

Ответ: .

1. 

Решение: используя свойства степеней, преобразуем данное показательное уравнение и решим методом уравнивания показателей степеней.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: ;

Следовательно, .

Ответ: .

1. ;

Решение: используя свойства степеней, преобразуем данное показательное уравнение и решим методом уравнивания показателей степеней.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: ;

Ответ: .

1. Решить графически уравнение:

Решение: рассмотрим две функции.

1. - показательная функция.

   x	-3	-2	-1	0
   y	8	4	2	1

2. - прямая

x	0	1
y	-0,5	0,5

Построим графики данных функций в онлайн-сервисе Geogebra.

Рисунок 6

Следовательно, по графику видим, что .

Ответ: .

1. 

Решение: выполнив некоторые преобразования, используя различные свойства степеней, а затем решим полученное показательное уравнение методом уравнивания показателей.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: .

Умножим обе части уравнения на 3:

Ответ: .

1. 

Решение: выполнив некоторые преобразования, используя различные свойства степеней, решим полученное показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение:

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Следовательно, , если

;

.

Ответ: .

1. 

Решение: выполнив некоторые преобразования, используя различные свойства степеней, а затем решим полученное показательное уравнение методом почленного деления и уравнивания показателей.

Разделим обе части уравнения на 2:

Разделим обе части уравнения на 2:

Разделим обе части уравнения на 3:

Разделим обе части уравнения на :

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: , где .

Ответ:

1. ;

Решение: выполнив некоторые преобразования, используя различные свойства степеней, решим полученное показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

Умножим обе части уравнения на 21:

Разделим обе части уравнения на :

Вынесем за скобки общий множитель :

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

Ответ:

1. 

Решение: выполнив некоторые преобразования, используя различные свойства степеней, решим полученное показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

Умножим обе части уравнения на 3:

Вынесем за скобки общий множитель :

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

Ответ: .

1. 

Решение: выполнив некоторые преобразования, используя различные свойства степеней, решим полученное показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

Умножим обе части уравнения на 1024:

Разделим обе части уравнения на 2:

Вынесем за скобки общий множитель :

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

Ответ: .

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, и решим данное показательное уравнение методом почленного деления.

Разделим обе части уравнения на :

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: , следовательно .

Ответ: .

1. 

Решение: решим уравнение методом введения новой переменной.

Замена: пусть ,

Определим дискриминант:

ледователь-но уравнение имеет два корня.

Обратная замена: так как , следовательно:

• .

Ответ: .

1. 

Решение: решим уравнение методом введения новой переменной.

Замена: пусть ,

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно:

• .

Ответ: 1.

1. ;

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней и решим уравнение методом введения новой переменной.

Замена: пусть ,

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно:

• .

Ответ: 3.

1. .

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней и решим уравнение методом введения новой переменной.

Умножим обе части уравнения на :

Замена: пусть ,

Определим дискриминант:

ледовательно уравнение имеет два корня.

Обратная замена: так как , следовательно:

• ;

• .

Ответ: .

Вариант 2

1. 

Решение: выполнив некоторые преобразования, используя свойства степени, решим простейшее показательное уравнение.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Ответ:

1. ;

Решение: выполнив некоторые преобразования, используя свойства степени, решим простейшее показательное уравнение.

Так как основание одинаковое, его можно отпустить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: или .

Ответ: .

1. ;

Решение: используя свойства степеней, преобразуем данное показательное уравнение и решим методом уравнивания показателей степеней.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение:

Ответ: .

1. 

Решение: выполнив некоторые преобразования, используя свойства степеней и решим простейшее показательное уравнение.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять:

Решим простое линейное уравнение: .

Ответ: .

1. ;

Решение: выполнив некоторые преобразования, используя различные свойства степеней, упростим показательное уравнение и решим его как простейшее.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: , где .

Ответ: .

1. Решите графически уравнение:

Решение: рассмотрим две функции.

1. - показательная функция.

   x	0	1	2
   y	1	3	9

2. - уравнение прямой

x	0	1
y	11	10

Построим графики этих функции в одной системе координат с помощью онлайн-сервиса Geogebra.

Рисунок 7

Следовательно, по графику можно заметить, что .

Ответ: .

1. 

Решение: используя свойства степеней, преобразуем данное показательное уравнение и решим методом уравнивания показателей степеней.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

Ответ:

1. 

Решение: используя свойства степеней, преобразуем данное показательное уравнение и решим методом уравнивания показателей степеней.

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

;

.

По теореме Виета:

Следовательно, получаем два корня: и .

Ответ: и .

1. ;

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, и решим данное показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

Разделим обе части уравнения на :

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

Решим простейшее линейное уравнение: .

Cледовательно,

Ответ:

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, и решим данное показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

Умножим обе части уравнения на 81:

Применим метод вынесения общего множителя за скобки и вынесем за скобки :

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

Решим простейшее линейное уравнение: , следовательно .

Ответ:

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, и решим данное показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

Умножим обе части уравнения на 27:

Применим метод вынесения общего множителя за скобки и вынесем за скобки :

Разделим обе части уравнения на 80:

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

Решим простейшее линейное уравнение: , следовательно .

Ответ:

1. ;

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, и решим данное показательное уравнение методом вынесения общего множителя за скобки.

Применим метод вынесения общего множителя за скобки и вынесем за скобки :

Разделим обе части уравнения на 3:

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, и решим данное показательное уравнение методом почленного деления и вынесения общего множителя за скобки.

Умножим обе части уравнения на 2:

Применим метод вынесения общего множителя за скобки и вынесем за скобки :

Следовательно, .

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

Ответ: .

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, и решим данное показательное уравнение методом введения новой переменной.

Замена: пусть

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно , где .

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

Ответ: .

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, и решим данное показательное уравнение методом введения новой переменной.

Замена: пусть

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно , где .

Так как основание одинаковое, его можно отбросить, а показатели степеней уравнять: .

Ответ: .

1. ;

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, и решим данное показательное уравнение методом введения новой переменной.

Умножим обе части уравнения на 343:

Замена: пусть

Определим дискриминант:

ледовате-льно уравнение имеет два корня.

Обратная замена: так как , следовательно:

• ;

Ответ: .

1. .

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, и решим данное показательное уравнение методом введения новой переменной.

Умножим обе части уравнения на :

Замена: пусть

Определим дискриминант:

Cледовательно уравнение имеет два корня.

Обратная замена: так как , следовательно:

• ;

• , значит .

Ответ: ; .

Контрольная работа по теме «Показательные неравенства»

Вариант 1

1. 

Решение: решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

1

x

- +

Следовательно, .

Ответ: .

1. 

Решение: решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

Определим дискриминант:

Cледовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

1,5

x

- +

Следовательно,

Ответ: .

1. ;

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней и решим простейшее показательное неравенство.

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

Определим дискриминант:

Следовательно уравнение имеет два корня.

Разложим квадратное уравнение на квадратный трёхчлен:

Следовательно, получаем следующее неравенство:

0,5

x

1

+ - +

Следовательно, .

Ответ: .

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней.

Умножим обе части неравенства на :

Решим данное неравенство методом введения новой переменной (методом замены).

Замена: пусть

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно , значит:

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

0,5

x

- +

Cледовательно, .

Ответ: .

1. ;

Решение: упростим показательное неравенство, используя различные свойства степеней.

Решим данное неравенство методом введения новой переменной (методом замены).

Замена: пусть

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно

• , значит: ;

• , cледовательно значит:

Разложим на квадратный трехчлен:

x

1

0

+ - +

Следовательно, .

Ответ: .

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, для того чтобы упростить показательное неравенство.

Разделим обе части неравенства на :

Применим метод введения новой переменной.

Замена: пусть

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

Определим дискриминант:

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Обратная замена: так как , следовательно:

• , значит: ;

• , cледовательно значит:

Разложим квадратное уравнение на квадратный трёхчлен:

Следовательно, получаем следующее неравенство:

0

x

1

+ - +

Таким образом, .

Ответ: .

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, для того чтобы упростить показательное неравенство.

Разделим обе части неравенства на :

Применим метод введения новой переменной.

Замена: пусть

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

Определим дискриминант:

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Обратная замена: так как , следовательно:

• , cледовательно, значит: ;

Следовательно, получаем следующее неравенство:

-1

x

- +

Таким образом, .

Ответ: .

1. Решите графически неравенство: .

Решение: рассмотрим две функции.

1. - показательная функция.

x	0	-3	-2	-1
y	1	8	4	2

1. - уравнение прямой.

x	0	-1
y	4	2

Изобразим графики функции в онлайн-сервисе Geogebra:

Рисунок 8

Ответ:

Вариант 2

1. 

Решение: решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

2

x

- +

Следовательно, .

Ответ: .

1. 

Решение: решим простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

-3

x

3

+ - +

Следовательно, .

Ответ: .

1. ;

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней и решим как простейшее показательное неравенство.

Поскольку основания одинаковые, можно их отбросить.

-3

x

3

+ - +

Следовательно,

Ответ: .

1. ;

Решение: выполнм некоторые преобразования для упрощения показательного неравенства.

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим квадратное неравенство:

;

;

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

Определим дискриминант:

Следовательно уравнение имеет два корня.

Следовательно, получаем следующее неравенство:

x

- +

Следовательно, .

Ответ: .

1. ;

Решение: выполним некоторые преобразования, для того чтобы упростить вид показательного неравенства.

Решим данное неравенство методом введения новой переменной (методом замены).

Замена: пусть

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно , значит:

Поскольку основания одинаковые, отбросим их и решим простейшее линейное неравенство:

2

x

- +

Cледовательно, .

Ответ: .

1. ;

Решение: выполним некоторые преобразования, для того чтобы упростить вид показательного неравенства.

Решим данное неравенство методом введения новой переменной (методом замены).

Замена: пусть

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно , значит:

x

- +

Cледовательно, .

Ответ: .

1. 

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, для того чтобы упростить показательное неравенство.

Разделим обе части неравенства на :

Применим метод введения новой переменной.

Замена: пусть

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

По теореме Виета:

Обратная замена: так как , следовательно

• , cледовательно . Значит, .

0

x

- +

Следовательно, .

Ответ: .

1. ;

Решение: выполним некоторые преобразования, используя свойства степеней, для того чтобы упростить показательное неравенство.

Разделим обе части неравенства на :

Применим метод введения новой переменной.

Замена: пусть

Приравняем квадратное неравенство к нулю и решим его:

Определим дискриминант:

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Обратная замена: так как , следовательно:

• , cледовательно, значит: ;

• , cледовательно, значит: ;

Следовательно, получаем следующее неравенство:

0

x

1

+ - +

Таким образом, Следовательно, .

Ответ: .

1. Решите графически неравенство:

Решение: рассмотрим две функции.

1. - показательная функция.

x	0	1	2	3
y	1	2	4	8

1. - уравнение прямой.

x	0	3
y	9	8

Изобразим графики функции в онлайн-сервисе Geogebra:

Рисунок 9

По графику можно заметить, что

Ответ: .

1