Полезные формулы №2 по геометрии: треугольник, радиус вписанной и описанной окружностей

Все формулы для треугольника, как найти сторону, биссектрису, медиану, высоту, угол...

Найти длину биссектрисы в треугольнике

L - биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b - стороны треугольника

с - сторона на которую опущена биссектриса

d, e - отрезки полученные делением биссектрисы

γ - угол ABC, разделенный биссектрисой пополам

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

 

 

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

 

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

 

 

 

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

 

 

 

 

 

 

 

Биссектриса прямоугольного треугольника

 

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α - угол прилежащий к гипотенузе

 

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

 

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α, β - углы прилежащие к гипотенузе

 

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

 

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

 

L - высота=биссектриса=медиана

a - одинаковые стороны треугольника

b - основание

α - равные углы при основании

β - угол вершины

 

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

 

 

 

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Найти медиану=биссектрису=высоту равностороннего треугольника

Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

 

 

L - высота=биссектриса=медиана

a -  стороны треугольника

 

 

 

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

 

 

Найти длину медианы треугольника по формулам

Медиана - отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

 

 

M - медиана, отрезок |AO|

c - сторона на которую ложится медиана

a , b - стороны треугольника

γ - угол CAB

 

 

Формула длины медианы через три стороны, (M):

 

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

 

 

Длина медианы прямоугольного треугольника

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M - медиана

R - радиус описанной окружности

O - центр описанной окружности

с - гипотенуза

a, b - катеты

α - острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

 

Формула длины через катеты, (M):

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

 

 

Найти длину высоты треугольника

Высота- перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется - ортоцентр.

 

H - высота треугольника

a - сторона, основание

b. c - стороны

β, γ - углы при основании

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

R - радиус описанной окружности

S - площадь треугольника

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

 

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

 

 

Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

 

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр - точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

 

H - высота из прямого угла

a, b - катеты

с - гипотенуза

c₁ , c₂ - отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β - углы при гипотенузе

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

 

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

 

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

 

 

Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

 

 

a, b, c - стороны произвольного треугольника

α, β, γ - противоположные углы

 

 

 

Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

*Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( α90), сosα,принимает отрицательное значение

 

Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

 

Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b - сторона (основание)

a - равные стороны

α - углы при основании

β - угол образованный равными сторонами

 

 

 

Формулы длины стороны (основания), (b):

 

Формулы длины равных сторон , (a):

 

Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

 

 

a, b - катеты

c - гипотенуза

α, β - острые углы

 

 

Формулы для катета, (a):

 

Формулы для катета, (b):

 

Формулы для гипотенузы, (c):

 

Формулы сторон по теореме Пифагора, (c, a, b):

 

 

Все формулы радиуса описанной окружности

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

a - боковые стороны трапеции

c - нижнее основание

b - верхнее основание

d - диагональ

h - высота

p = (a+d+c)/2

Формула радиуса описанной окружности трапеции, (R)

 

 

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

 

a - сторона многоугольника

N - количество сторон многоугольника

 

 

 

Радиус  описанной  окружности  правильного  многоугольника, (R):

 

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

 

 

a - сторона шестиугольника

d - диагональ шестиугольника

 

 

 

Радиус  описанной  окружности  правильного  шестиугольника (R):

 

 

 

Радиус описанной окружности прямоугольника по стороне

 

 

a, b - стороны прямоугольника

d - диагональ

 

 

 

Радиус описанной окружности прямоугольника (R):

 

 

 

Найти радиус описанной окружности около квадрата

 

 

 

a - сторона квадрата

d - диагональ

 

 

Радиус описанной окружности квадрата (R):

 

Найти радиус описанной окружности треугольника, формула

 

 

a, b, c - стороны треугольника

p - полупериметр,

p= (a+b+c)/2

 

 

Формула радиуса описанной окружности треугольника, (R):

 

Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне

 

 

 

 

a - сторона треугольника

 

 

Радиус  описанной  окружности  равностороннего  треугольника (R):

 

найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

 

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

a, b - стороны треугольника

 

 

 

Радиус  описанной  окружности  равнобедренного  треугольника (R):

 

Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

 

a, b - катеты прямоугольного треугольника

c - гипотенуза

 

 

 

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Все формулы радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

 

 

 

a - сторона шестиугольника

 

 

 

Радиус вписанной окружности в шестиугольник, (r):

 

 

 

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

 

 

a - сторона многоугольника

N - количество сторон многоугольника

 

 

 

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник, (r):

 

Радиус вписанной окружности в ромб

r - радиус вписанной окружности

a - сторона ромба

D, d - диагонали

h - высота ромба

 

 

 

Формула радиуса вписанной окружности в ромб, (r):

 

Радиус вписанной окружности в квадрат

 

 

 

 

a - сторона квадрата

 

 

Радиус вписанной окружности в квадрат (r):

 

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

с - нижнее основание

b - верхнее основание

a - боковые стороны

h - высота

 

 

 

Радиус вписанной окружности равнобочной трапеции (r):

 

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

 

 

a, b - катеты треугольника

с - гипотенуза

 

 

 

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):

 

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

 

 

 

a, b - стороны треугольника

 

 

 

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник (r):

 

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

 

 

 

a - сторона треугольника

 

 

 

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник (r):

 

 

Радиус вписанной окружности в треугольник

 

 

a, b, c - стороны треугольника

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

 

 

 

Радиус вписанной окружности в треугольник (r):