Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.
Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.
У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.
Половина — одна вторая доля предмета или 1/2.
Треть — одна третья доля предмета или 1/3.
Четверть — одна четвертая доля предмета или 1/4.
Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.
Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:
обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
десятичный вид — 0,5.
Виды дробей:
Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 - 0,3)/5.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x - y). Значение дроби зависит от данных значений букв.
Какие еще бывают дроби:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.
Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.
Как устроена обыкновенная дробь
Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.
Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.
Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.
Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.
Черта между числителем и знаменателем — символ деления.
Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.
Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
0,3
4,23
9,939
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства дробей
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:
где a, b, k — натуральные числа.
Основные свойства
Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.
Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!
С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.
Сравнение дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:
В обеих дробях знаменатель равен 5.
В первой дроби числитель равен 1, во второй дроби равен 4.
1 < 4
Поэтому первая дробь 1/5 меньше второй 4/5.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Сравним 1/2 и 1/8. Как рассуждаем:
Представим, что у нас есть торт. Так как знаменатель первой дроби равен 2, то делим торт на две части и забираем себе одну, то есть половину торта.
Знаменатель второй дроби равен 8, делим торт на восемь частей и забираем крохотный кусочек. Половина торта больше больше маленького кусочка.
Таким образом 1/2 > 1/8.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.
Как рассуждаем:
Приведем дроби к общему знаменателю:
Сравним дроби с одинаковыми знаменателями:
Ответ: 2/7 > 1/14.
Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ);
сравнить полученные дроби.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей, которое станет их общим знаменателем.
Разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, то есть найти для каждой дроби дополнительный множитель.
Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Сокращение дробей
Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.
Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.
В этом примере делим обе части дроби на двойку.
Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).
Вот, что делать:
Найдем наименьшее общее кратное для определения единого делителя.
Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90
Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
90 : 15 = 6,
90 : 18 = 5.
Полученные числа запишем справа сверху над числителем.
Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.
Проверим полученный результат:
если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Ход решения одной строкой:
Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
Сложить целые части.
Сложить дробные части.
Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.
Суммировать полученные результаты.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Умножение и деление дробей
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.
Чтобы умножить два смешанных числа, надо:
преобразовать смешанные дроби в неправильные;
перемножить числители и знаменатели дробей;
сократить полученную дробь;
если получилась неправильная дробь, преобразовать в смешанную.
Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:
числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.
Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.
Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.
Для деления смешанных чисел необходимо:
представить числа в виде неправильных дробей;
разделить то, что получилось друг на друга.
Просмотр содержимого документа
«Понятие дроби. Обыкновенные дроби»
Тема: Понятие дроби. Обыкновенная дробь.
Тема урока: «Понятие дроби» (Урок №1)
Цель урока: сформировать понятие дроби.
Планируемые результаты:
Личностные: развивать умение слушать; ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач; формировать представления о математике как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира, как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества;
Метапредметные: развивать умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни; формировать умение работать в группах;
Предметные: развивать умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию); развивать представления о числе.
Тип урока: открытие новых знаний
Формы работы учащихся: групповая, индивидуальная, парная
Оборудование: мультимедиа проектор, компьютер, раздаточный материал для групповой работы, тестовые задания, текст вкусного домашнего задания.
Технологическая карта урока
Этапы урока
Деятельность учащихся
Деятельность учителя
Универсальные учебные действия
1.Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности.
Настрой на работу.
Создать условия для возникновения внутренней потребности включения в деятельность. Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.( Ну-ка, проверь дружок,
Ты готов начать урок?
Всё ль на месте,
Всё ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Каждый хочет получать
Толька лишь оценку пять.(Слайд 1.)
Личностные: самоопределение;
Регулятивные: целеполагание;
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстникам
2.Этап
актуализации и пробного учебного действия.
Активизировали соответствующие мыслительные операции (анализ, обобщение, классификация и т.д.) и познавательные процессы (внимание, память и т.д.);
- Считать
Разные варианты ответов
Самостоятельно выполнить практическое задание и зафиксировать, что практически можно 1:4.
Активизирует знания учащихся и подготовку мышления учащихся и организации осознания ими внутренней потребности к построению нового способа действий.
Устный счёт по цепочке:
33 * 2 = + 6 = *7 = - 419 = : 4 = ? (Слайд 2.)
Проблема: какой результат в действии 1:4.
Задача.1. Разделить поровну одно яблоко на четверых детей.
Как называется каждая часть яблока, полученная ребёнком?
2.Разделить поровну один апельсин на двоих человек.
Как называется часть апельсина, которая досталась каждому?
3.Практическое задание: разделите один лист бумаги на 4 равные части.
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;
Познавательные:
самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
Логические: – формулирование проблемы.
3.Этап выявления места и причины затруднения.
Проанализировали, зафиксировали, какого знания или умения не достает для решения исходной задачи (причина затруднения).Отгадывают ребус
Анализирует причины затруднений и помогает в выборе знания, которого недостает
- Натуральные числа вы умеете записывать? А кто-нибудь сможет записать результат действия натуральным числам?Чтобы узнать, какие числа существуют для записи результата таких действий, отгадаем ребус: (Слайд 3.)
Регулятивные: целеполагание, прогнозирование;
Познавательные: выбор наиболее эффективных способов решения задач
4.Этап постановки темы урока и учебной цели.
В коммуникативной форме сформулировали конкретную цель своих будущих учебных действий, устраняющих причину возникшего затруднения (то есть сформулировали, какие знания им нужно построить и чему научиться);
предложили и согласовали тему урока
-Понятие дроби. .
- Познакомиться с дробями, научиться записывать и читать дроби , решать задачи.
Консультирует, проверяет, согласовывает, уточняет тему урока
- А как бы вы сформулировали тему сегодняшнего урока?
(Слайд 4)
- Какие задачи стоят сегодня перед нами?
Подвести промежуточный итог.
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками
Личностные: планирование учебной деятельности
5.Этап открытия новых знаний
Найти значение слова «дробь» в словаре и энциклопедии.
Работа в группах по изучению новой темы, используя инструкцию.
зафиксировать новые знания в заполнении конспекта.
Работа в группах. Готовый результат работы представить классу (анализировать, систематизировать).
Где можно найти значение слова «дробь»?
Давайте познакомимся со значением слова «дробь» в толковом словаре Ожегова С.И. («Дробь – число, состоящее из частей единицы».)
и в Большой Российской энциклопедии («Дробь арифметическая – число, состоящее из одной или несколько равных частей единицы»).
(Слайд 5.)
Изучение новой темы по тексту из различных учебников в группах.
Инструкция к изучению новой темы:
Прочитать текст.
Заполнить краткий конспект:
Для записи дроби используют … .
Число под чертой называют … и оно показывает … .
Число над чертой называют … и оно показывает … .(Слайд 6.)
Подвести промежуточный итог после выступлений из каждой группы:
Каждый может за версту
Видеть дробную черту.
Над чертой – числитель, знайте,
Под чертою – знаменатель.
Дробь такую, непременно,
Надо звать обыкновенной.
- Назовите числитель и знаменатель
каждой дроби.
Коммуникативные: развитие умения работать в группе
Познавательные: построение логических цепей, анализ, умение структурировать и работать с текстом и дополнительными источниками информации.
6.Этап первичного закрепления .
Решили (устно) несколько типовых заданий на новый способ действия;
при этом проговаривали вслух.
Работа в парах.
Организовывает решение типовых заданий (фронтально).
-Назвать числитель и знаменатель дроби. (слайд7.) (закрепить знание числителя и знаменателя)
-Учимся читать дроби (слайд 8, 9 ).
-Задание на интерактивной доске (устно). Какая часть закрашенная на рисунке?
(соотнеси рисунок с дробью).
-Работа в тетрадях с печатной основой №270, (работа в парах – цель отработать навык определения части по рисунку и умение записать это в виде дроби. (Слайд 10.)
Даёт ключ к взаимопроверке и шкалу к самооценке.
Регулятивные: выделение и осознание того, что усвоено, что ещё подлежит усвоению
Предметные: формирование навыков построения математических моделей и решения практических задач.
Личностные.
Развитие навыков взаимопроверки и самооценки.
7.Этап релаксации
Выполняют физические упражнения и упражнения для глаз.
Учитель принимает участие.
Личностные: забота о своём здоровье.
. Этап диагностики качества освоения темы
Работа индивидуальная при выполнении диктанта в тетрадях.
Взаимопроверка +самооценка
Работа в группах. Готовый результат работы представить классу (анализировать, систематизировать).
Работа в парах. Выполняют задания из учебника с применением новых знаний.
Выполнение теста, взаимопроверка+самооценка.
Математический диктант. (слайд 12)
Запишите в виде обыкновенной дроби.
1. Две седьмых
2. Четыре девятых.
3.Одна сотая.
4.Шесть восьмых.
5. Три двадцать пятых.
6.Половина.
Даёт ключ для проверки.
Решение задач из учебника ,
Цель – применить новые знания (Слайд 13.)
№ 744(а,б,в)
№ 741 (б,в)
Проверка- фронтально
Тестовая работа, содержит задания разного уровня (цель – первичный контроль знаний, умений и навыков по теме).
Организует проверку по ключу и оценивание (1б. – за каждое верно решенное задание) (слайд17)
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками
Регулятивные: контроль, оценка, выделение и осознание того, что усвоено, что ещё подлежит усвоению
Предметные: развитие представлений о числе х, умение применять изученный материал
Личностные.
Развитие навыков взаимопроверки и самооценки.
9. Подведение итогов урока. Рефлексия учебной деятельности.
Определяют ключевые слова урока и их значение.
Осуществляет самооценку собственной учебной деятельности, подсчитывая баллы в листе учёта знаний, заработанные при выполнении самостоятельных видов работ , соотносит цель и результаты
Выбирают утверждение, соответствующее настроению на уроке
Намечают перспективу последующей работы
Запись домашнего задания
С помощью интерактивного задания (анаграммы)определяют ключевые слова урока и их значение.
Организует обсуждение по выполнению поставленных задач.
Организует самооценку учениками собственной учебной деятельности на уроке по рейтинговой шкале(слайд 15).
Организует рефлексию с учащимися (слайд 16.)
Намечаются цели дальнейшей деятельности.
Комментирует домашнее задание:
п.4.1., № 737, 744(г, д, е) и вкусное домашнее задание по выбору.
Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;
Регулятивные: планирование, контроль, оценка, коррекция, выделение и осознание того, что усвоено, что ещё подлежит усвоению