Понятие вектора. Коллинеарные и равные векторы.

Понятие вектора.

При первом знакомстве с геометрией мы выясняли, какие геометрические фигуры являются простейшими. К ним относились: точка, прямая и отрезок. Отрезок, как нам уже известно, это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки мы называли концами отрезка. Отрезки обозначаются двумя заглавными латинскими буквами, причём не важно, какой из двух концов мы называем первым.

Рассмотрим такую ситуацию. Я купила в магазине муку и, поместив её в пакет, отправилась по прямой к остановке автобуса. По случайному стечению обстоятельств упаковка с мукой оказалась надорвана и пакет имел дырку. В результате весь мой путь от магазина до остановки был прочерчен просыпавшейся мукой. Получился такой белый отрезок. Но это ведь не простой отрезок, поскольку я шла только в одну сторону! Этот отрезок имел направление: от магазина до остановки. Вот такие направленные отрезки и называются векторами.

Определение. Вектором называется направленный отрезок, построенный по двум точкам, одна из которых считается началом, а другая – концом.

На рисунке представлен вектор с началом в точке и концом в точке . Обозначается он так: . Его уже нельзя обозначить , поскольку точка перемещается в точку , а не наоборот. Также, вектор можно обозначать одной маленькой буквой со стрелкой над ней , тогда на рисунке она располагается между началом и концом вектора.

Вектор, также как и отрезок, имеет длину.

Определение. Длиной вектора называется расстояние между его началом и концом. Другими словами, это длина отрезка, составляющего данный вектор.

Обозначается длина вектора так: или . О нахождении длины вектора поговорим позже.

Если конец вектора совпадает с его началом, то вектор называется нулевым, т.е. его длина равна нулю. Обозначается нулевой вектор так: или .

1. Отметьте три точки . Сколько векторов с началом и концом в этих точках можно провести? Проиллюстрируйте свой ответ.

2. Проведите векторы . Какая геометрическая фигура у вас получилась?

3. Проведите вектор . Что вы можете сказать о длине этого вектора?

4. На прямой отметьте два вектора с длинами 3 см и 1 см. Какие возможны варианты их расположения?

5. Начертите прямоугольник, проведите его диагонали. Отметьте все возможные векторы с началом и концом в видимых точках прямоугольника. Запишите их.

6. Начертите две параллельные прямые и . На прямой отложите вектор , а на прямой – вектор . Какие возможны варианты? Что вы можете сказать об этих векторах?

Равенство векторов.

Рассмотрим теперь задание 6 из предыдущей темы. На двух параллельных прямых должны быть расположены два вектора. Рассмотрим варианты.

1. . Мы расположили эти векторы так, что они направлены в одну сторону. Такие векторы называются сонаправленными.

1. . Эти векторы мы расположили так, что они направлены в разные стороны. Такие векторы называются противоположно направленными.

Сонаправленные и противоположно направленные векторы составляют множество векторов, которое называется коллинеарными векторами.

Определение. Коллинеарными называются ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение. Сонаправленными называются коллинеарные векторы, если их концы лежат по одну сторону от прямой, проходящей через их начала (направленные в одну сторону). Обозначаются так: или .

Определение. Противоположно направленными называются коллинеарные векторы, если их концы находятся по разные стороны от прямой, проходящей через их начала (направленные в разные стороны). Обозначаются так: или .

В рассмотренных случаях мы заметили, что коллинеарные векторы имели разные длины. Однако, они могут иметь и одинаковую длину. От этого условие коллинеарности не нарушается. Но появляется новая группа векторов.

Определение. Равными называются сонаправленные векторы, имеющие равные длины. Обозначаются так: .

З начит, для того, чтобы векторы были равны, нужно, чтобы они лежали на параллельных прямых (или на одной прямой); были направлены в одну сторону и их длины должны быть равны.

На рисунке .

Откладывание вектора от данной точки.

Утверждение. От любой точки плоскости можно отложить вектор, равный данному и, притом, только один.

Дано:

Доказать: .

Доказательство.

1. Через точку проведём прямую , параллельную вектору . В соответствии с аксиомой IX планиметрии, такая прямая единственная.

2. На прямой от точки можно отложить два отрезка и одинаковой длины, равной длине вектора . Так как они отложены в разные стороны от точки , то векторы и противоположно направленные.

3. По определению равных векторов .

4. Для доказательства единственности такого вектора, предположим, что существует ещё один вектор с началом в точке , равный вектору . Пусть это будет вектор

5. Так как , то по определению равных векторов, они лежат на параллельных прямых. Значит, через точку проходят две прямые и , параллельные вектору . А это противоречит аксиоме IX.

6. Мы пришли к противоречию потому, что сделали неправильное предположение. Значит, вектор единственный, ч.т.д.

1. Укажите векторы:

1. сонаправленные с вектором ;

2. сонаправленные с вектором ;

3. п ротивоположно направленные с векторами и .

1. Дан параллелограмм . Укажите векторы:

1. коллинеарные;

2. сонаправленные;

3. п ротивоположные;

4. равные.

1. Дан параллелограмм . Укажите векторы:

1. коллинеарные;

2. сонаправленные;

3. противоположные;

4. равные.

1. Укажите длины векторов , изображённых на клетчатой бумаге с размерами клетки .

1. На прямой отметьте четыре точки: в таком же порядке.

1. Укажите, какие из векторов сонаправлены с вектором:

1. ;

2. .

1. Укажите, какие из векторов противоположно направлены с вектором:

1. ;

2. .

1. Начертите прямоугольник . Определите, как называются векторы:

1. и ;

2. и ;

3. и ;

4. и ?

1. Дан прямоугольник . Диагонали и пересекаются в точке . Известно, что . Найдите длины векторов: .

3