Пособие по теме: Решение иррациональных неравенств

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для самостоятельной работы студентов

По предмету: МАТЕМАТИКА Тема: «Решение иррациональных неравенств»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

(базовой подготовки)

Купино

2022

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

комиссии по общеобразовательным предметам,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

естественно-научному циклу

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Купино

2022 г

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия: иррациональных чисел и их свойств, методов решения иррациональных неравенств и подготовится к занятию по теме «Решение иррациональных и тригонометрических неравенств».

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Решение иррациональных неравенств, тест для самоконтроля и ключи к тесту.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к предмету.

Решение иррациональных неравенств

Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным. Существует два типа таких неравенств:

В первом случае корень меньше функции g(x), во втором — больше. Если g(x) — константа, неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.

При решении иррациональных неравенств довольно часто необходимо возводить обе части неравенства в некоторую степень, это довольно ответственная операция. Напомним особенности.

Обе части неравенства можно возвести в квадрат, если обе они неотрицательны, только тогда мы получаем из верного неравенства верное неравенство.

Обе части неравенства можно возвести куб в любом случае, если исходное неравенство было верным, то при возведении в куб мы получим верное неравенство.

Рассмотрим неравенство вида:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Функция   может принимать любые значения, необходимо рассмотреть два случая.

В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) больше отрицательного выражения, значит, неравенство выполняется всегда.

Итак, имеем следующую схему решения:

В первой системе мы не защищаем отдельно подкоренное выражение, т. к. при выполнении второго неравенства системы подкоренное выражение автоматически должно быть положительно.

Пример 1 – решить неравенство:

Согласно схеме, переходим к эквивалентной совокупности двух систем неравенств:

Проиллюстрируем:

Рис. 1 – иллюстрация решения примера 1

Ответ:

Как мы видим, при избавлении от иррациональности, например, при возведении в квадрат, получаем совокупность систем. Иногда эту сложную конструкцию можно упростить. В полученной совокупности мы имеем право упростить первую систему и получить эквивалентную совокупность:

В качестве самостоятельного упражнения необходимо доказать эквивалентность данных совокупностей.

Рассмотрим неравенство вида:

Аналогично предыдущему неравенству, рассматриваем два случая:

В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) меньше отрицательного выражения, значит, неравенство противоречиво. Вторую систему рассматривать не нужно.

Имеем эквивалентную систему:

Решение иррациональных неравенств графическим способом 

Иногда иррациональное неравенство можно решить графическим методом. Данный способ применим, когда соответствующие графики можно достаточно легко построить и найти их точки пересечения.

Пример 2 – решить неравенства графически:

а) 

б) 

Первое неравенство мы уже решали и знаем ответ.

Чтобы решить неравенства графически, нужно построить график функции, стоящей в левой части, и график функции, стоящей в правой части.

Рис. 2. Графики функций   и 

Для построения графика функции   необходимо преобразовать параболу   в параболу   (зеркально отобразить относительно оси у), полученную кривую сместить на 7 единиц вправо. График подтверждает, что данная функция монотонно убывает на своей области определения.

График функции   – это прямая, ее легко построить. Точка пересечения с осью у – (0;-1).

Первая функция монотонно убывает, вторая монотонно возрастает. Если уравнение имеет корень, то он единственный, по графику легко его угадать:  .

Когда значение аргумента меньше корня, парабола находится выше прямой. Когда значение аргумента находится в пределах от трех до семи, прямая проходит выше параболы.

Имеем ответ:

а)  ; б) 

Решение иррациональных неравенств методом интервалов

Эффективным методом решения иррациональных неравенств является метод интервалов.

Пример 3 – решить неравенства методом интервалов:

а) 

б) 

согласно методу интервалов, необходимо временно отойти от неравенства. Для этого перенести в заданном неравенстве все в левую часть (получить справа ноль) и ввести функцию, равную левой части:

теперь необходимо изучить полученную функцию.

ОДЗ: 

Корни: 

Данное уравнение мы уже решали графически, поэтому не останавливаемся на определении корня.

Теперь необходимо выделить интервалы знакопостоянства и определить знак функции на каждом интервале:

Рис. 3. Интервалы знакопостоянства к примеру 3

Напомним, что для определения знаков на интервале необходимо взять пробную точку и подставить ее в функцию, полученный знак функция будет сохранять на всем интервале.

Проверим значение в граничной точке:

Очевиден ответ:

а)  ; б) 

Рассмотрим следующий тип неравенств:

Сначала запишем ОДЗ:

Корни существуют, они неотрицательны, обе части можем возвести в квадрат. Получаем:

Получили эквивалентную систему:

Полученную систему можно упростить. При выполнении второго и третьего неравенств первое истинно автоматически. Имеем:: 

Пример 4 – решить неравенство:

Действуем по схеме – получаем эквивалентную систему:

Ответ: 

Рассмотрим неравенства вида:

В данном случае имеем дело с корнем нечетной степени, в левой и правой части неравенства могут стоять любые (как положительные, так и отрицательные) числа. Имеем эквивалентное неравенство:

Пример 5 – решить неравенство:

Ответ: 

Тест по теме Решение иррациональных неравенств

1. Решить неравенство: _{  }

1. (-2; 2_{ }]

2. (2; 2_{ }]

3. [2; 2_{ }]

4. (2; 2_{ }]

5. (2; 2_{ }]

1. Решить неравенство: _{   }

1. [_{ })

2. (0;_{ })

3. [0;_{ })

4. [0;_{ })

5. [0;_{ })

1. Решить неравенство: _{   }

1. (-∞; _{ })

2. (-∞;_{ })

3. (-∞; _{ }]

4. (_{ }∞)

5. ( _{ }; _{ }]

4. Решить неравенство: _{ } ≥ _{ }

1. (-∞; _{ }]

2. ( _{ };_{ }

3. (_{ }

4. (-∞; _{ }]

5. Нет решения

5. _{ }≥_{ }

1. (2;4]

2. (-∞;4]

3. [2;4]

4. [2;4)

5. [2;+∞)

6. _{ } ≤ _{ }

1. (-1; 0)

2. (-1; -2-_{ }]U (0;+∞)

3. [-1; -2+_{ })U (0;+∞)

4. (-1; -2+_{ }]U (0;+∞)

5. (-1; -2]U (2;+∞)

7.Решить неравенство: (х+2)_{ } ≥ 0

1. [-2;4]

2. [-2;4]U[5;+∞)

3. [-2;5)U(5;+∞)

4. [-2; +∞)

5. [-2;_{ }]U[5;+∞)

8. Решить неравенство: _{ } ≥ 0

1. ( _{ };10)

2. ( _{ };1)U(1;10)

3. (-∞; _{ })U[1;10)

4. [1;10)

5. (-∞; _{ }]U[1;10)

9. Решить неравенство: _{ } - 1

1. [-20;+∞)

2. [-20;0)U(5;+∞)

3. [-5;0)U(20;+∞)

4. (5;+∞)

5. (-20;0]U[5;+∞)

10. Решить неравенство: _{   }

1. (_{ };1]

2. (_{ };1)

3. (_{ };_{ })

4. (_{ };1]

5. [_{ };1]

Ответы к тесту

Критерии оценивания тестовых заданий

10 вопросов 5 (отлично) (10-9 ответов)

10 вопросов 4 (хорошо) (8 ответов)

10 вопросов 3 (удов) (7 ответов)

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018

2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012

Интернет-ресурсы

1. http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в

школе, XXI век».

1. http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.

2. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов